一次方程式

花びら

 文章問題をとく際に1次方程式を使用すると楽に問題を解けます。1次方程式で問題を整理し、1次方程式を解けば答えがでます。ここでは、この一次方程式について紹介します。

1次方程式とは

 2x-1=1

となるように

未知の変数xを含み、xの次数が1となる方程式が一次方程式です。

一次方程式

等式の左側の式を左辺(さへん)、右側の式を右辺(うへん)といい、左辺と右辺を合わせて両辺(りょうへん)といいます。

値を代入することで方程式を解く

 では、先ほどの一次方程式2x-1=1を解いていきます。

 2x-1=1

は「2倍して1を引いたら1になる数は?」と言っているにすぎません。実際にxにさまざまな値を代入すると

 x=1

のとき方程式が成り立つことがわかります。このようにしてxに様々な数を代入し続ければいいわけですが、ちょっと面倒です。しかも、いつも見つかるとは限りません。そこで、方程式のルールを学んでいきます。

方程式のルール

方程式には「0以外の同じ数を両辺に、足したり、引いたり、かけたり、割ったりしていい」というルールがあります。このルールを使えば、一次方程式を簡単に解くことができます。例えば先ほどの方程式

 2x-1=1

 x=\cdots

の形にしたいので、左辺にxの項、右辺にxを含まない項を集めます。そのため、左辺にある-1を消去するため両辺に1を足します。すると

 2x-1+1=1+1\\ \Leftrightarrow 2x=2

となります。今度は両辺を2で割って

 x=1

が得られます。では、いくつか問題を解いて慣れましょう。

次の1次方程式を解け。

(1) \displaystyle \frac{x+1}{2}=x-3

(2)0.2x-1.2=0.5x+1

(3)2(x+1)-5=2x+2

(1)

 \displaystyle \frac{x+1}{2}=x-3

 \Leftrightarrow x+1=2x-6←両辺を2倍した

 \Leftrightarrow x+1-2x=-6←両辺から2xを引いた

 \Leftrightarrow -x=-6-1←両辺から1を引いた

 \Leftrightarrow x=7←両辺に-1をかけた

実際に

 \displaystyle \frac{x+1}{2}=x-3

に代入すると正しいことが確認できます。

(2)

 0.2x-1.2=0.5x+1

 \Leftrightarrow -0.3x-1.2=1←両辺から0.5xを引いた

 \Leftrightarrow -0.3x=2.2←両辺に1.2をたした

 \displaystyle \Leftrightarrow x=-\frac{22}{3}←両辺を-0.3でわった

実際に

 0.2x-1.2=0.5x+1

に代入すると正しいことがわかります。

(3)

 2(x+1)-5=2x+2

 \Leftrightarrow 2x-3=2x+2←左辺を整理した

 \Leftrightarrow -3=2←両辺から2xを引いた

 -32は等しくないので、

 2(x+1)-5=2x+2

の解はありません。たぶんこんな問題は試験にはでないと思いますが…

著者:安井 真人(やすい まさと)