連立一次方程式

塾講師

 1次方程式の場合は変数が1つです。それでは、変数の数が2つ以上の場合はどうなるのでしょうか。それが、連立一次方程式です。連立一次方程式について紹介します。

連立一次方程式とは

連立一次方程式とは次のような方程式です。

 \left\{ \begin{array}{l}2x+y=1\cdots (1)\\x-y=2\cdots (2)\end{array}\right.

この二つの一次方程式を成り立たせるようなx,yを求めることを一次方程式を解くといいます。実際にとくにはx,yにいろいろな値を代入して、式(1)と(2)を満たせばそれが答えです。今回の場合

 \left\{ \begin{array}{l}x=1\cdots (1)\\y=-1\cdots (2)\end{array}\right.

が答えになります。実際に式(1)と(2)に代入すれば成り立つことがわかります。このようにひたすらx,yに数値を代入していけば答えがわかります。しかし、あまりにも面倒です。そこで、一次方程式を簡単に解く方法を紹介します。

係数を合わせて解く

はじめに紹介する方法は

「二つの式のx,yどちらかの係数を合わせて打ち消す」

という方法です。実際に解いてみます。

 \left\{ \begin{array}{l}2x+y=1\cdots (1)\\x-y=2\cdots (2)\end{array}\right.

今回の場合は、yの係数がそれぞれ1と-1なので,このまま式(1)(2)を足し合わせることで

 (2x+y)+(x-y)=1+2\\ \Leftrightarrow 3x=3\\ \Leftrightarrow x=1

と打ち消すことができます。あとは計算したx=1を式(1)か(2)に代入してyを求めると

 2\times 1+y=1\\ \Leftrightarrow y=-1

となります。よって

 x=1,y=-1

がこたえとなります。

一つの変数について解いて代入

次に紹介する方法は

「一つの変数について解いて代入する」

という方法です。では方程式

 \left\{ \begin{array}{l}2x+y=1\cdots (1)\\x-y=2\cdots (2)\end{array}\right.

の式(1)をyについて解くと

 y=1-2x\cdots (3)

となります。そして、解いた式を式(2)に代入して

 x-(1-2x)=2\\ \Leftrightarrow 3x-1=2\\ \Leftrightarrow x=1

が得られます。そして、この値を式(3)に代入して

 y=1-2\times 1=1-2=-1

を得て最終解

 x=1,y=-1

が導かれます。

最後に

 二つ連立方程式を解く方法を紹介しました。実際にどちらを使うかは簡単に解けそうな方を選べばいいと思います。

著者:安井 真人(やすい まさと)