二次方程式

池と葉っぱ

 面積の計算など2次元の問題になると2次方程式を解く必要がでてきます。そこで、ここでは二次方程式の解き方について解説します。また、2次方程式の一般解についても紹介します。

2次方程式とは

まず、二次方程式とは

 x^{2}+3x+2=0

のように二次式の入った方程式のことをいいます。この式を満たすような数xが何かを求めることが必要となります。

因数分解を使って解く

 はじめに因数分解を使って解く方法を紹介します。この方法は因数分解がすぐできる場合に使用します。例えば

 x^{2}+3x+2=0

なら

 (x+1)(x+2)=0

と因数分解できます。かけて0になる数といったら0しかないので

 x+1=0x+2=0

となり

 x=-1,-2

が答えとなります。

平方完成して解く

 x^{2}+4x+3=0

 \displaystyle \left(x+2\right)^{2}-1=0

のように

 (x+a)^{2}

の形にまとめることを平方完成といいます。まず、平方完成をして

 (x+2)^{2}-1=0\\ \Leftrightarrow (x+2)^{2}=1\\ \Leftrightarrow x+2=\pm 1\\ \Leftrightarrow x=-3,-1

として解きます。基本的に平方完成して解く方法であらゆる二次方程式を解くことができるので便利です。ただし、因数分解できる場合は、そっちの方がはやく計算できます。

2次方程式の解の公式

実は2次方程式には解の公式があります。解の公式とは、

 ax^{2}+bx+c=0

という2次方程式があるとき、xについて解いたものです。ちなみに2次方程式なのでa\neq0です。

解の公式を導く

 いきなり解の公式を紹介してもいいのですが、導けるようにしておくのが大事なので、一緒に導出してみましょう。導出方法は簡単で、先ほど述べた平方完成により解くだけです。ではやってみます。とりあえず平方完成してまとめます。

 ax^{2}+bx+c=0

 \displaystyle\Leftrightarrow a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right)+c=0 ←a\neq0なので割っていい

 \displaystyle\Leftrightarrow a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}\right)+c=0 ←平方完成する

 \displaystyle\Leftrightarrow a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a}+c=0 ←括弧を一部外す

 \displaystyle\Leftrightarrow a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{b^{2}}{4a}-c ←移行する

 \displaystyle\Leftrightarrow \left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} ←a\neq0で割る

さて、ここからは右辺の値により、解があるかどうかが変わります。まず、

 \displaystyle\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}<0

の場合、二乗して負の数になる実数はないので解はありません。次に

 \displaystyle\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}=0

の場合、

 \displaystyle \left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=0

 \displaystyle\Leftrightarrow x+\frac{b}{2a}=0

 \displaystyle\Leftrightarrow x=-\frac{b}{2a}

となります。最後に

 \displaystyle\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}>0

の場合、

 \displaystyle\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}

 \displaystyle\Leftrightarrow x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}

 \displaystyle\Leftrightarrow x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ←aの符号によって、\sqrt{4a^{2}}の符号が決まるがどのみち±がついているので、単に外せばいい

 \displaystyle\Leftrightarrow x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

 \displaystyle\Leftrightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ←まとめる

となります。以上で、2次方程式の解の公式の導出は終了です。

2次方程式の解の公式のまとめ

2次方程式ax^{2}+bx+c=0,a\neq0の解は、D=b^{2}-4acとしたとき

  1. D>0なら解は2つで\displaystyle\Leftrightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
  2. D=0なら解は1つで\displaystyle\Leftrightarrow x=-\frac{b}{2a}
  3. D<0なら解はない

となります。Dの符号によって解の数がわかるので、D判別式と呼ばれています。

解の公式を使って解いてみる

では、解の公式を使って問題を解いてみます。

(1) x^{2}+x+1=0

(2) x^{2}+3x+2=0

(1)

解の公式より、

 \displaystyle x=\frac{-1\pm\sqrt{1-4\times 1\times 1}}{2\times 1}\\=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}

根号の中身が負なので、解はありません。

(2)

解の公式より

 \displaystyle x=\frac{-3\pm\sqrt{9-4\times 1\times 2}}{2\times 1}\\=\frac{-3\pm\sqrt{1}}{2}\\=\frac{-3\pm 1}{2}\\=-1,-2

が得られます。

以上のことからわかるように

 \displaystyle\Leftrightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

を覚えて代入して、根号が負なら解がないというのを押さえておけば2次方程式は簡単に解けます。ただし、

因数分解で解ける問題は因数分解して解いたほうが速いです。

著者:安井 真人(やすい まさと)