1次関数

 1次関数は比例を少し拡張した関数で、グラフでは直線になります。曲線は拡大すると直線にみえます。複雑な関数はよく1次関数で近似する操作を行います。そのため、1次関数はかなり頻繁に使用し、かなり大事な関数となります。しっかりマスターしていきましょう。

1次関数とは

 比例ではy=axという形でした。この比例をもう少し拡張して

 y=ax+b,\ a\neq0

としたものを1次関数と呼びます。もちろん、比例はすべて1次関数になります。

1次関数をグラフにプロットしてみる

では、さっそくですが1次関数

 y=2x+1

をグラフにプロットしてみましょう。グラフのプロットは簡単で

 x=-3,-2,-1,0,1,2,3

におけるyの値を計算して、平面座標に点をうちまくればOKです。では、やってみましょう。

 y(-3)=2\times(-3)+1=-5\\y(-2)=2\times(-2)+1=-3\\y(-1)=2\times(-1)+1=-1\\y(0)=2\times0+1=1\\y(1)=2\times1+1=3\\y(2)=2\times2+1=5\\y(3)=2\times3+1=7

となります。ここで、y(x)2x+1の値を示しています。これら計算した値を座標平面へプロットすると以下のようになります。

1次関数y=2x+1

グラフを見ると、比例のように直線になることがわかります。ただ、比例と違って原点を通りません。この場合、y軸とは(0,1)で交わっています。以上のことから、

1次関数y=ax+bは比例y=axをy軸方向へb平行移動したものだ

ということがわかります。この定数bのことを切片(せっぺん)と呼びます。切片の値を大きくすると直線は上へ、小さくすると下へ移動します。

傾き

では、y=ax+1aの値を変えてみます。すると以下のようになります。

2の場合

1次関数y=2x+1

0の場合

y=1

-1の場合

y=-x+1

aが正なら右上、0なら平、負なら右下になります。また、絶対値が大きくなると坂も急になります。このことからaのことを比例と同様に傾きと呼びます。

1次関数のかき方

1次関数についてなんとなくわかったところで、1次関数のかき方について説明します。といっても1次関数のかき方は簡単で、

  1. 二点をプロットする
  2. 二点を結ぶ

で終わりです。では試しに、y=x-1をかいてみます。

二点をプロットする

では、適当に2点を選んでプロットします。ここでは、x=0,1として

 y(0)=-1\\y(1)=1-1=0

をプロットします。すると

2点をプロットする

となります。

二点を結ぶ

二点を結ぶと

二点を結ぶ

となります。以上で終了です。最後に一次関数をかくときのポイントですが、

二点を選ぶときはなるべく座標平面の端を選ぶと誤差が少ない

ということはおさえておきましょう。先程の例なら、x=0,1でなくてx=-3,3と広いレンジを選んだほうがきれいにかけるということです。座標平面に応じてうつ点を決めましょう。

著者:安井 真人(やすい まさと)