1次関数と1次方程式

 1次方程式は一次なので、1次関数で表現できます。このことを利用して、1次関数によりグラフをかいて、1次方程式の解を求める方法を紹介します。

1次方程式を解く

1次方程式は

 2x+1=-x-2

といった式のような文字が一次の式です。この1次方程式の左辺と右辺をそれぞれ

 f(x)=2x+1\\g(x)=-x-2

というような1次関数f(x),g(x)として考えることができます。では、これらの関数をグラフにプロットしてみます。すると

fg

となります。では、このグラフを元に1次方程式

 2x+1=-x-2

を解いていきます。1次方程式を解く方法の一つとして、xにひたすら代入して、方程式が成り立つかをみていく方法があります。例えば、x=1なら、左辺:3、右辺:-3なので違うことがわかります。ひたすら代入して解を出すのはたいへんですが、グラフを見ればひと目で解がわかります。例えば、x=5ならグラフをみて

kekka

左辺:11、右辺:-7だなとわかり、解でないことがわかります。この調子で、x軸の値をいろいろ変えて、青線と赤線のy座標が同じになる部分を探します。すると、

itti

のように

交点が1次方程式の解である

ということがわかります。よって、グラフよりx=-1くらいかなと検討がつきます。実際に1次方程式をとくと

 2x+1=-x-2\\\Leftrightarrow 3x=-3\\\Leftrightarrow x=-1

確かに、-1になっていますね。

連立方程式を解く

 では続いて、連立一次方程式

 2x-y=3\\x+2y=4

について考えます。この式を変形して、yについてまとめると

 \displaystyle y=2x-3\\y=-\frac{1}{2}x+2

が得られます。見ての通り、2つの1次関数が出てきます。これをグラフにプロットすると

 gurahu

となります。そして、

  1. 青線上のすべての点でy=2x-3
  2. 赤線上のすべての点で\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+2

が成り立ちます。連立方程式ではこれらが両方成り立たないといけないので、

連立一次方程式の解は交点である

ということがわかります。よって、x=2,y=1くらいかなとグラフからわかります。実際に、解くと

 \displaystyle 2x-3=-\frac{1}{2}x+2\\\Leftrightarrow 4x-6=-x+4\\\Leftrightarrow 5x=10\\\Leftrightarrow x=2

となり、

 y=2\times2-3=1

なので確かにx=2,y=1であることがわかります。

まとめ

 以上のことから、方程式の解はグラフ上では交点になっていることがわかります。よって、とりあえずグラフをかければ、方程式の解はおおよそどれくらいかは検討できるということになります。グラフはパソコンで簡単にかけるので、

  1. 関数からグラフをかく
  2. グラフから交点を読み取る
  3. 解をだす

で複雑な方程式も解けそうだなということも納得できるかと思います。(1次方程式程度なら、グラフをかくよりて計算したほうがはやいですが)

著者:安井 真人(やすい まさと)