2次関数

 1次関数をこれまで学習してきました。「1」と来たので、「2」もあるだろうということで、次は2次関数を学習しましょう。

とりあえず簡単な2次関数

 いきなり

 y=ax^{2}+bx+c

のような一般的な二次関数を学んでもいいのですが、中学では

 y=ax^{2},a\neq0

という比較的簡単!?な二次関数を学びます。いい忘れましたが、最高次数が2のものを二次関数といいます。では、さっそくですが、

 y=x^{2}

をグラフにプロットしてみましょう。やり方はいつもと同じで、

 y(-5)=(-5)^{2}=25,\\y(-4)=16,\\y(-3)=9

とひたすら計算して座標平面へ点をうっていきます。こうして

二次関数

という結果がえられます。1次関数のときは直線でしたが、

二次関数は直線でない

ということがわかります。二次関数で得られるこのような軌跡を放物線(ほうぶつせん)といいます。野球ボールを投げると、ボールの軌跡は放物線を描くので、確認してみてください。あとグラフを見ると、頂点は原点であることもわかります。

 さて、これでは、点をうっただけなので点を結びます。

 放物線

ここで、注意ですが

点を直線でむすばず、点と点は滑らかにつなぎましょう

というのも点と点の間にさらに点をうつと直線にならないからです。

いろいろな二次関数

せっかくなのでいろいろな二次関数をかいてみましょう。以下の二次関数

 f(x)=x^{2},\\g(x)=2x^{2},\\h(x)=-x^{2}

をプロットします。すると

いろいろな二次関数

が得られます。これらのことから

  1. aの絶対値が大きいと二次関数はとんがる(f(x),g(x)の比較より)
  2. aが正なら下に凸、負なら上に凸(f(x),h(x)の比較より)

ということがわかります。基本的な二次関数の性質なのでおさえておきましょう。

まとめ

では最後に二次関数y=ax^{2}についてまとめます。

  1. 二次関数は放物線を描く
  2. とんがり部分は原点である
  3. aの絶対値が大きいと二次関数はとんがる
  4. aが正なら下に凸、負なら上に凸

著者:安井 真人(やすい まさと)