因数分解

割る

 展開の逆で、括弧をつけた形にするのが因数分解です。因数分解は、展開と比べてかなり難しい作業になります。ただし、難しいといってもパターンは決まっているので、練習を繰り返せば必ずできるようになります。2次方程式でも使用するのでしっかりマスターしましょう。

因数分解のやり方

展開では括弧を外す作業をしました。因数分解は展開とは逆で括弧をつけて積の形にします。例えば、

 x^{2}+3x+2

の因数分解は

 (x+1)(x+2)

となります。一般に因数分解は展開より難しいです。なぜなら、展開の場合は必ず展開できますが、因数分解の場合は本当に因数分解できるかわからないからです。でも、テストででるような因数分解は簡単なので安心してください。以下の手順に従えばたいていの問題はとくことができます。

手順その一:共通因子をくくりだす

ax+ay+azの場合、どの項にもaという因子(共通因子)が含まれています。この場合は

 ax+ay+az=a(x+y+z)

として共通因子をくくりだします。

因数分解せよ

(1) 2abc+4a^{2}b^{2}

(2) 2(a-b)x+3(b-a)y

(1)

共通因子は2abなので

 2abc+4a^{2}b^{2}=2ab(c+2ab)

となります。

(2)

共通因子が(a-b)なので

 2(a-b)x+3(b-a)y=2(a-b)x-3(a-b)y=(a-b)(2x-3y)

となります。

手順二:展開の公式を使う

因数分解では展開の際に紹介した公式

  1. x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
  2. a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)

を使用します。

例えば

 x^{2}+3x+2

 x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)

となります。

 x^{2}-1

 x^{2}-1=x^{2}-1^{2}=(x+1)(x-1)

です。

次の式を因数分解せよ。

(1)x^{2}+6x+9

(2)x^{2}-4

(3)(x+3)(x-5)+7

(4)2x^{2}y-16xy+32y

(1)

解き方としては定数項が9と正なので

 (x+\ )(x+\ ),(x-\ )(x-\ )

のどちらかとわかります。この場合、6xとあるので

 (x+\ )(x+\ )

であると判明します。そして、定数項が9なので

  1. 1☓9
  2. 3☓3

が候補です。ただ6xとあるので

  1. 1☓9->1+9=10
  2. 3☓3->3+3=6

より3☓3となります。ゆえに

 x^{2}+6x+9=(x+3)(x+3)=(x+3)^{2}

が答えです。

(2)

この場合も同様に、定数項が-4と負なので、

 (x+\ )(x-\ )

と書いておきます。あとは、一次の項が0なので

  1. 4☓(-1)->4+(-1)=3
  2. 2☓(-2)->2+(-2)=0
  3. 1☓(-4)->1+(-4)=-3

より2,-2の組み合わせが正しいことがわかります。よって

 x^{2}-4=(x+2)(x-2)

が得られます。

(3)

まずは、展開します。すると

 (x+3)(x-5)+7\\=x^{2}-2x-15+7\\=x^{2}-2x-8

となります。定数項がマイナスなので

 (x+\ )(x-\ )

とかいておきます。一次の項が-2より

2☓(-4)->2+(-4)=-2

でいいことがわかります。よって

 (x+3)(x-5)+7=(x+2)(x-4)

が答えです。

(4)

まずは共通因子2yをくくりだします。

 2x^{2}y-16xy+32y=2y(x^{2}-8x+16)

あとは、x^{2}-8x+16を因数分解するだけです。16と正で一次の項が-8と負なので

 2x^{2}y-16xy+32y=2y(x^{2}-8x+16)=2y(x-\ )(x-\ )

となります。そして一次の項が-8より

(-4)☓(-4)->(-4)+(-4)=-8

となり

 2x^{2}y-16xy+32y=2y(x^{2}-8x+16)=2y(x-4)(x-4)=2y(x-4)^{2}

が得られます。

著者:安井 真人(やすい まさと)