円と扇形の性質

 これまで直線や角について学んできました。ここでは線とはかなり異なる、円について解説します。特に円における用語について説明するので、しっかり覚えましょう。

 平面上の1点Aから等しい距離にある点の集まりを円(えん)といいます。点Aを円の中心といい、円Aとよびます。

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直線は定規を使ってかきますが、円をかきたい場合は、コンパスを使ってかきます。

 円A上の2点B,C間の円の一部を弧(こ)といいます。そして、弧BCまたは弧CBとかきます。たいてい弧BCといったら短い方のことをさします。短い弧を劣弧といい、長い弧を優弧といいわけることもあります(ほとんどありませんが)。さらに、2点B,Cを使いだ線分を弦(げん)といいます。

ko

円周の長さと円の面積

直径1の円周の長さを円周率といい\pi(ぱい)であらわします。円周率は

 \pi=3.141592\cdots

と無限に続きます。ちなみに覚え方は

 「産医師、異国に(さんいし、いこくに)」

と覚えます。

円周の長さ

 円周も直径も長さなので、直径を2倍すると円周も2倍になります。よって直径dの円周の長さは

 \pi d

となります。

半径rの円の場合の円周は2\pi rとなります。

円の面積

円の面積は以下の図から

円の面積

「半径☓円周/2」

となります。よって、

半径rの円の面積はr\times 2\pi r/2=\pi r^{2}となります。

まとめ

半径rの円の円周の長さと面積は

  • 円周:2\pi r
  • 面積:\pi r^{2}

となります。

扇形と中心角

 弧BCと線分ABと線分ACをつないだ図形を扇形(扇型)といいます。また、\angle BAC中心角といいます。

中心角

扇形の周長と面積

 半径rで中心角が\thetaの扇形の周長と面積を計算してみましょう。円の面積と周長の公式を使えばかんたんに計算できます。

 まず、線分ABとACの長さはどちらもrです。また、弧BCの長さは円Aの円周が2\pi rなので、

 \displaystyle 2\pi r\frac{\theta}{360}

となります。よって、

 \displaystyle 2r+\pi r\frac{\theta}{180}

が扇形の周長となります。扇形の面積は、円Aの面積は\pi r^{2}なので

 \displaystyle\pi r^{2}\frac{\theta}{360}

となります。扇形の周長や面積は円の周長と面積さえ知っていれば簡単に導けるので覚える必要はありません。

円と直線

 円Aと直線lが1点Pだけで交わるとき、lは円Aに接するといいます。接線の性質としてAP\perp lという性質があります。

接線

半径2で中心角が120°の扇形ABCがある。このとき、弧BCの長さと、扇形の面積をもとめよ。

問題

まず、弧に関しては、円Aの直径が

 2\pi\times2=4\pi

なので、

 \displaystyle 4\pi\times\frac{120}{360}=\frac{4}{3}\pi

が弧ABの長さになります。

同様にして、円Aの面積は

 2\times 2\times \pi=4\pi

なので

 \displaystyle 4\pi\times\frac{120}{360}=\frac{4}{3}\pi

が扇形ABCの面積になります。

著者:安井 真人(やすい まさと)