合同

図形を移動したり、回転させたりして、ぴったり合う図形を合同(ごうどう)といいます。例えば、以下の様な2つの三角形\triangle ABC,\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}は、

合同

移動と回転によりぴったり合うので合同です。合同なことを

 \triangle ABC\equiv\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}

と表現します。

ちゃんと対応する頂点の順番にかく

ことに注意しましょう。例えば、

 \triangle ABC\equiv\triangle B^{\prime}A^{\prime}C^{\prime}

は誤りになります。

三角形の合同条件

 2つの三角形があり、これらが合同であることをどうやって証明すればいいでしょうか?もちろん、重なるから合同でしょ?といってもいいのですが、そもそも重なるとは何なのかという疑問もでるので十分でありません。そこで、どのようなときに三角形が合同になるかを考察していきます。

3つの辺の長さが同じ場合

 まず、三角形の3つの辺が同じ三角形があったとします。例えば、3つの辺の長さを2,3,4とします。この場合、三角形は合同になるでしょうか?長さが2,3,4と指定すれば、三角形の形状は一通りに決まるでしょうか?とかんがえると、合同にならない例が見つからないので、

3つの辺の長さが同じ三角形は合同

といってよさそうです。

2つの辺の長さが同じ場合

 では、2つの辺の長さが同じなら三角形は一通りに決まるでしょうか?いろいろな場合を考えると

tiga

のように、間の角度が違えば三角形の形も違うことがわかります。では、もう少し条件をつけて、2つの辺と一つの角が同じなら合同でしょうか?これについても

2つの辺と角度が同じ

のような場合、三角形の形状は一致しません。一方、

2つの辺とその間の角度が同じなら合同

なら、三角形の形状は一通りに決まりそうです。これが2つ目の合同の条件です。

1つの辺の長さが同じ場合

 では、ひとつの辺が同じなら、2つの三角形は合同でしょうか?これについては、いうまでもなく例外があるのでちがいます。では、ひとつの辺と一つの角が同じなら、2つの三角形は合同でしょうか?これも

2つの辺と角度が同じ

より違うことがわかります。よく考えると

ひとつの辺とその両端の角が同じなら合同

だと一通りに決まりそうです。これが3つめの合同条件です。

まとめ

結局、2つの三角形が合同であるというには、以下の3つの条件

  1. 3つの辺が等しい
  2. 2つの辺とその間の角が等しい
  3. 1つの辺とその両端の角が等しい

のどれかが成り立てばいいことがわかります。

では、簡単な証明問題をやっておわります。以下のような図形があります。

問題

ここで、AB//CD,AB=CDです。

まず、平行であるので錯角が等しくなります。よって

syoumei

 \angle EAB=\angle EDC, \angle EBA=\angle ECD

となります。また、AB=CDより

「1辺とその両端の角が等しい」

ので、\triangle ABE\equiv \triangle DCEがなり立ちます。

 図形の問題は

等しい辺や角を図形に書き込む

のがポイントです。

著者:安井 真人(やすい まさと)