イプシロン・エヌ(ε-N)論法

時計

無数の数の並びa_{1},a_{2},\cdotsを数列といい、\{a_{n}\}と表します。もし、この数の並びが、nを大きくしていき、\alphaに近づくなら、数列\{ a_{n}\}\alphaに収束するといい、\alphaを数列\{ a_{n}\}の極限といいます。記号で

 \displaystyle \lim_{n\to \infty}a_{n}=\alpha

とかきます。

a_{n}=1/nの場合は

 \displaystyle\lim_{n\to \infty}a_{n}=0

となります。

極限の詳しい定義

この極限をさらに詳しく定義すると以下のようになります。

極限

任意の正数\epsilonが与えられたとき、ある自然数n_{0}

 n>n_{0}のとき、| \alpha -a_{n}|<\epsilon

となるように選べる。このとき、数列\{ a_{n}\}\alphaへ収束するという。

これが世間でいう「イプシロン・エヌ(ε-N)論法」というやつですね。たいていこの極限の定義を大学1年で習い、混乱したかたもおおいと思います。

 定義を読んだだけだと分からないと思うので、

a_{n}=1/nが0へ収束すること

を使って、解説していきます。まず、「任意の正数\epsilonが与えられたとき」とあるので、好きな正の数\epsilonを選んでください。正の実数なら何でもいいですよ。ここでは

 \epsilon =1

を選んだとします。次に、

「ある自然数n_{0}n>n_{0}のとき、| \alpha -a_{n}|<\epsilonとなるように選べる。」

とあるので、n>n_{0}のとき

 | 0 -a_{n}|<\epsilon=1\Leftrightarrow |1/n|<1

となる自然数n_{0}を探します。すると、

 n_{0}=2

を選んでやれば、n

 n>n_{0}=2\Leftrightarrow \frac{1}{2}>\frac{1}{n}

ならば

 |0-1/n|=1/n<\frac{1}{2}<1

が成り立つことがわかります。ではこんどはちがう正数\epsilonでどうような操作をしてみましょう。たとえば、

 \epsilon =0.01

としたとします。すると

 n_{0}=1000

としてやれば、

 n>n_{0}\Leftrightarrow \frac{1}{1000}>\frac{1}{n}

となる自然数n

|0-1/n|=1/n<\frac{1}{1000}<0.01

が成り立ちます。以上の作業をすべての正の数\epsilonについて永遠とやり続けていき

 n>n_{0}

 |\alpha-a_{n}|<\epsilon

が成り立つn_{0}がつねに存在するときに、数列\{ a_{n}\}\alphaへ収束するということができるのです。

収束しない例

収束する例だけだとなっとくいかない方もおられると思うので、収束しない例をあげます。

再び、数列a_{n}=1/nを考えます。この数列は0に収束しますが、0.1へは収束しません。0.1へ収束しないことをイプシロン・エヌ論法で考えてみます。まず、任意の正数\epsilon

 \epsilon=0.01

と取ってみます。このときどんなに自然数n_{0}をとっても

 n>n_{0}

 |0.1-a_{n}|<0.01\Leftrightarrow 0.09<a_{n}<0.11

が成り立ちません。なぜなら、

 n>1000\Leftrightarrow 0.001>\frac{1}{n}

のとき

 a_{n}<0.001<0.09

となるからです。よって、数列\{ a_{n}\}0.1へ収束しません。

まとめ

イプシロン・エヌ論法はかんたんにいうと「おそだしじゃんけん」です。最初にだされた\epsilonに対してn_{0}をえらべれば数列は収束します。つまり、「おそだしして、じゃんけんに勝てれば収束です。」逆に、「おそだししても勝てなければ収束しません。」とにかくありとあらゆる正数にたいして検討すれば、数列が収束するかが予想できます。

著者:安井 真人(やすい まさと)