数列の極限の公式1

悩む男

前回、数列の極限について

「任意の正数\epsilon>0について、ある自然数n_{0}を選べば、n>n_{0}なら|\alpha -a_{n}|<\epsilonとなる。このとき、数列\{a_{n}\}\alphaへ収束するという。」

と定義しました。ここでは、この定義を用いていくらか定理を導きます。

部分数列の収束

収束する数列の部分数列も、もとの極限値に収束します。

この定理の例として

 \displaystyle a_{n}=\frac{1}{n},

 \displaystyle b_{n}=\frac{1}{2n}

を考えましょう。まず、a_{n}

 \displaystyle \frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\cdots

であり、b_{n}

 \displaystyle \frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{6},\cdots

であることから、数列\{b_{n}\}は数列\{a_{n}\}の部分数列となります。そして、両方の数列は同じ極限0へ収束します。これが定理で言っていることです。当たり前のことを言っているわけですね。

では、証明していきます。まず、数列\{a_{n}\},\{b_{n}\}を準備し

\{b_{n}\}\{a_{n}\}の部分数列とします。

そして、

 \displaystyle\lim_{n\to \infty}a_{n}=\alpha

へ収束するとします。このとき

 \displaystyle \lim_{n\to \infty}b_{n}=\alpha

となることを証明すればいいことになります。

 まず、極限の定義に従い、正の実数\epsilonを任意にとります。そして、

 n>n_{0}|\alpha -b_{n}|<\epsilon

が成り立つようなn_{0}があることを示します。

 \{b_{n}\}\{a_{n}\}の部分数列なので

 b_{n}=a_{k(n)}・・・(1)

となるk(n)があって

 k(1)<k(2)<k(3)<\cdots

なので

 n\leq k(n)

が任意のnで成り立ちます。これは

 1<2<3<\cdots,

 k(1)<k(2)<k(3)<\cdots

とならべてみると理解しやすいと思います。そして、\{a_{n}\}\alphaへ収束するので、

 n>n_{0}|\alpha-a_{n}|<\epsilon・・・(2)

となる自然数n_{0}を取ることができます。すると式(1)より

 |\alpha-b_{n}|=|\alpha-a_{k(n)}|

が成り立つことと

 k(n)\geq n>n_{0}

なので式(2)より

 |\alpha-b_{n}|=|\alpha-a_{k(n)}|<\epsilon

が成り立ちます。これで数列\{b_{n}\}\alphaへ収束することがいえました。

著者:安井 真人(やすい まさと)