数列の極限の公式2

鏡

数列の極限に関する公式を導きます。まず、数列の極限の定義

「任意の\epsilon>0に対して、ある自然数n_{0}n>n_{0}なら、|\alpha-a_{n}|<\epsilonとなるように取れる。このとき\{a_{n}\}\alphaに収束するという。」

をしっかり押さえておきましょう。

収束数列は有界

a_{n}\to \alphaなら、|a_{n}|<Mとなる定数Mがあり、|\alpha|\leq Mとなる

定理を理解するために例を挙げます。例えば、a_{n}=1/nは0に収束します。そして、M=2としてやれば、全てのnに対して

 |1/n|=1/n<2

となります。当然、極限値も

 0<2

となります。

ある正の実数\epsilonをとると、a_{n}\to \alphaなので、

n>n_{0}のとき、|\alpha-a_{n}|<\epsilon・・・(1)

となるn_{0}が存在します。式(1)を変形すると

 |\alpha-a_{n}|<\epsilon

 \Rightarrow -\epsilon<\alpha-a_{n}<\epsilon

 \Rightarrow \alpha-\epsilon<a_{n}<\alpha+\epsilon・・・(2)

となります。そこで、

 |a_{1}|,|a_{2}|,\cdots,|a_{n_{0}}|,|\alpha-\epsilon|,|\alpha+\epsilon|

のどれよりも大きい数をMとすれば、すべてのnに対して

 |a_{n}|<M

となります。これで定理の前半部分の証明が完了です。

 次に、定理の後半部分を背理法で証明します。

a_{n}\to \alpha,|a_{n}|<Mとします。

もし、

|\alpha|>Mだとすると、

|\alpha|>M_{1}>MとなるM_{1}を取れます(例えば,(|\alpha|+M)/2

すると

 |\alpha-a_{n}|>|\alpha|-|a_{n}|>M_{1}-|a_{n}|>M_{1}-M>0

が任意のnに対して成り立つことになります。これはa_{n}\to \alphaに矛盾します。よって、

 |\alpha|\leq M

がいえます。

著者:安井 真人(やすい まさと)