数列の極限の公式3

sankaku

数列の極限の公式の三回目です。はじめに数列の極限の定義を述べます。

「数列\{a_{n}\}\alphaに収束するとは、任意の正数\epsilonに対して、ある自然数n_{0}が存在して、n>n_{0}ならば|\alpha-a_{n}|<\epsilonが成り立つことである。」

では以下の定理を証明します。

極限に関する定理

数列\{a_{n}\},\{b_{n}\}\alpha,\betaに収束するとき、

  1. \displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_{n}+b_{n})=\alpha+\beta,
  2. \displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_{n}-b_{n})=\alpha-\beta,
  3. \displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_{n}b_{n})=\alpha\beta,
  4. \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_{n}}

が成り立つ。ただし(4)に関してはb_{n}\neq 0,\displaystyle\lim_{n\to\infty}\neq0とする。

(1)と(2)の証明

任意の正数\epsilonをとります。すると\{a_{n}\},\{b_{n}\}は収束するので

 |\alpha-a_{n}|<\epsilon/2,|\beta-a_{n}|<\epsilon/2

がある自然数n_{0}以上の自然数nで成り立ちます。よって、

 \displaystyle|(\alpha\pm\beta)-(a_{n}\pm b_{n})|=|(\alpha-a_{n})\pm(\beta-b_{n})|,

 \displaystyle\leq |\alpha-a_{n}|+|\beta-b_{n}|<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon

n>n_{0}で成り立ちます。これは

 \displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_{n}\pm b_{n})=\alpha\pm\beta

を意味します。

(3)の証明

数列\{a_{n}\},\{b_{n}\}は収束するので任意の正数\epsilonに対して

 |\alpha-a_{n}|<\epsilon,|\beta-b_{n}|<\epsilon

がある自然数n_{0}以上の自然数nで成り立ちます。次に

 |\alpha\beta-a_{n}b_{n}|=|(\alpha-a_{n})\beta+a_{n}(\beta-b_{n})|,

 \leq |(\alpha-a_{n})\beta|+|a_{n}(\beta-b_{n})|,

 <\epsilon |\beta|+|a_{n}|\epsilon・・・(1)

となります。\{a_{n}\}は収束するので

 a_{n}<M

とある実数M>0で押さえることができます(定理)。ゆえに(1)は

 \displaystyle|\alpha \beta-a_{n}b_{n}|<\epsilon |\beta|+|a_{n}|\epsilon<\epsilon|\beta|+M\epsilon=\epsilon(|\beta|+M)・・・(2)

となります。右辺は任意の正数であり、n>n_{0}で式(2)が成り立つことから、

 \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}b_{n}=\alpha\beta

が証明されたことになります。

(4)の証明

 \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_{n}}=\frac{1}{\beta}・・・(4)’

を証明すればいい。なぜなら、もし(4)’が証明されれば、公式(3)から

 \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim_{n\to\infty}a_{n}\frac{1}{b_{n}}=\alpha\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha}{\beta}

が示されるからです。では、(4)’を証明します。まず、b_{n}\to \betaなので、任意の正数\epsilonに対して

 |\beta-b_{n}|<\epsilon

がある自然数n_{0}以上の自然数nで成り立ちます。よって、

 \displaystyle\left|\frac{1}{\beta}-\frac{1}{b_{n}}\right|=\left|\frac{b_{n}-\beta}{b_{n}\beta}\right|<\frac{\epsilon}{|b_{n}||\beta|}・・・(3)

が成り立ちます。ここで、b_{n}\to\betaなので、

 |\displaystyle\beta|-|b_{n}|\leq|\beta-b_{n}|<|\beta|/2\Rightarrow |\beta|/2<|b_{n}|\Rightarrow \frac{1}{|b_{n}|}<\frac{2}{|\beta|}

がある自然数n_{1}以上の自然数で成り立ちます。よって(3)は

 \displaystyle\left|\frac{1}{\beta}-\frac{1}{b_{n}}\right|<\frac{\epsilon}{|b_{n}||\beta|}<\frac{2\epsilon}{|\beta|^{2}}・・・(4)

となります。右辺は任意の正数であり、n_{2}=Max(n_{0},n_{1})とすれば、n>n_{2}で(4)が成り立つので

 \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_{n}}=\frac{1}{\beta}

が導かれます。

著者:安井 真人(やすい まさと)