単調数列の収束性

単調数列

単調増加数列とは

1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,5,…

といったように常に上昇し続ける数列のことです。

一方、単調減少数列とは

10,10,9,2,1,-8,…

といったように常に減少し続ける数列のことです。

単調増加数列と単調減少数列をまとめて単調数列と呼びます。

 

以下の単調数列の収束性に関する定理を証明します。

定理

有界な単調数列は収束する

 

解説

単調減少数列の例としてa_{n}=1/nがあげられます。

この関数は全ての自然数nに関して

a_{n}<2,a_{n}>-1

なので、上にも下にも有界です。

 

この定理は

「単調に増加していっても、上に限界があれば頭打ちになる」

ということをいっているだけです。

では証明していきます。

証明

いま数列\{a_{n}\}を単調増加数列とします。

この数列は上に有界なので、上限\alphaが存在します(この定理より)。

この上限\alphaが数列の極限となることを証明します。

 

そこで任意の正数\epsilonをとります。すると

\alpha-\epsilon<a_{n_{0}}<\alpha・・・(1)

となる自然数n_{0}が存在します。

なぜなら、もし存在しないと\alpha-\epsilonが上界となり、上界の最小値である上限\alphaよりも小さい上界\alpha-\epsilonが存在してしまうからです。

これは上限の定義に反します。

また、\{a_{n}\}は単調増加数列なのでn>n_{0}として、(1)より

\alpha-\epsilon<a_{n_{0}}\leq a_{n}<\alpha,

\Rightarrow \alpha-a_{n}<\epsilon・・・(2)

が成り立ちます。また\alphaは上限なので

a_{n}<\alpha+\epsilon\Rightarrow -\epsilon<\alpha-a_{n}・・・(3)

が成り立ちます。(2)と(3)より

|\alpha-a_{n}|<\epsilon

n>n_{0}で成り立ちます。

これは

\lim_{n\to\infty}a_{n}=\alpha

を意味します。

これで証明終了です。

 

単調減少数列も同様にして証明できます。

著者:安井 真人(やすい まさと)