区間縮小法

区間縮小法について解説します。

区間縮小法とは以下の定理のことをいいます。

 

定理7.

閉区間I_{n}=[a_{n},b_{n}](n=1,2,\cdots)において、

(1) 各区間I_{n}がその前の区間に含まれる

(2) nが限りなく大きくなるとき、区間I_{n}の幅b_{n}-a_{n}が限りなく小さくなる

が成り立つとき、これらの各区間に共通なるただ一つの点が存在する。

 

例として

 a_{n}=-1/n,b_{n}=1/n

があげられます。この区間は常に

 I_{n}\in I_{n-1}

となり、

 b_{n}-a_{n}=2/n

nの増加とともに限りなく小さくなりますね。

そして確かに全ての区間にただ一つの数0が含まります。

0以外の数(たとば0.01)はどこかで、ある区間に含まれなくなります。

 

【証明】

仮定(1)から

 a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots\leq a_{n}\leq \cdots\leq b_{n}\leq\cdots\leq b_{2}\leq b_{1}

となります。これは数列\{a_{n}\},\{b_{n}\}がそれぞれ単調増加数列と単調減少数列で有界であることを意味しています。

ですから、定理6より

 \lim_{n\to\infty}a_{n}=\alpha,\lim_{n\to\infty}b_{n}=\beta

となる\alpha,\betaが存在します。

また、

 a_{n}<b_{m}

がすべてのn,mで成り立つので、定理4から

 \alpha\leq b_{m}

がすべてのmで成り立ちます。同様にして定理4から

 \alpha\leq\beta

が得られます。

 

次に仮定(2)から任意の正数\epsilonに対して

 b_{n}-a_{n}<\epsilon

となるnが存在します。また、

 a_{n}\leq\alpha\leq\beta\leq b_{n}

なので

 0\leq \beta-\alpha\leq b_{n}-\alpha\leq b_{n}-a_{n}<\epsilon

となります。\epsilonは任意の正数なので

 \alpha=\beta

が得られます。

 

任意のnに対して、a_{n}\leq \alpha\leq b_{n}が成り立つので、\alphaはすべての区間I_{n}に含まれます。

以上で証明終了です。

著者:安井 真人(やすい まさと)