Cauchyの判定法

数列が収束するための条件について考えます.

数列\{a_{n}\}\alphaに収束するとは,a_{n}nを大きくするうちに\alphaに近づくことでした.

ただ,収束する値がわかっていればいいのですが,わからない場合が大半です.

そこで,収束値がわからない状態でも収束を判定する方法を知ることは便利であることがわかります.

この方法が「Cauchyの判定法」です.

 

Cauchyの判定法では,数列\{a_{n}\}のある項a_{n},a_{m}の差の絶対値|a_{n}-a_{m}|の値に注目します.

この値がn,m\to\inftyのときに0となれば,収束すると予想がつきます.

これがCauchyの判定法です.

Cauchyの判定法

数列\{a_{n}\}が収束することの必要十分条件は,

任意の\epsilon>0に対して,ある自然数n_{0}があって,

 p>n_{0},q>n_{0}\Rightarrow |a_{p}-a_{q}|<\epsilon

が成り立つことである.

まず,数列\{a_{n}\}\alphaに収束するとして

ある自然数n_{0}があって,

 p>n_{0},q>n_{0}\Rightarrow |a_{p}-a_{q}|<\epsilon

が成り立つことを証明します.

任意の正数\epsilon>0をとります.そして,

 \displaystyle |a_{p}-\alpha|<\frac{\epsilon}{2},|a_{q}-\alpha|<\frac{\epsilon}{2},p>n_{0},q>n_{0}

となるように自然数n_{0}を設定します.すると,

 |a_{p}-a_{q}|=|(a_{p}-\alpha)+(\alpha-a_{p})|\leq |a_{p}-\alpha|+|\alpha-a_{q}|<\epsilon

が成り立ち証明終了です.

 

次に逆の命題を証明します.

まず,任意の\epsilon>0に対して

 |a_{p}-a_{q}|<\epsilon\Leftrightarrow -\epsilon<a_{p}-a_{q}<\epsilon,

 \Leftrightarrow a_{q}-\epsilon<a_{p}<a_{q}+\epsilon

がある自然数n_{0}より大きいp,qで成り立ちます.

よって,q=n_{0}+1とすれば

 a_{n_{0}+1}-\epsilon<a_{p}<a_{n_{0}+1}+\epsilon

が成り立ち,数列\{a_{n}\}は有界となります.

これと定理2より数列\{a_{n}\}は上限と下限が存在します.

数列\{A_{n}\}a_{n},a_{n+1},a_{n+2},\cdots

の上限と下限をそれぞれl_{n},m_{n}とします.また、これらの数列の区間をI_{n}とします.

数列\{A_{n}\}の方が\{A_{n+1}\}よりa_{n}だけ多く数を含んでいるので,

 m_{1}\leq \cdots\leq m_{n}\leq m_{n+1}\leq \cdots\leq l_{n+1}\leq l_{n}\leq\cdots\leq l_{1},

 \cdots\subset I_{n}\subset\cdots\subset I_{2}\subset I_{1}

が成り立ちます.

仮定より任意の\epsilon>0に対して,p,q>n_{0}なら

 a_{p}-a_{q}<\epsilon

が成り立ちます.上限の意味から,いまn>n_{0}とすれば任意のq\geq nに対して

 l_{n}-a_{q}\leq \epsilon

が成り立ちます.同様に下限の意味から

 l_{n}-m_{n}\leq \epsilon

が成り立ちます.ここで区間縮小法により,

 l_{n}\to\alpha,m_{n}\to\alpha

となる\alphaがあり

 a_{n}\to\alpha

となります.a_{n}は区間[ m_{n},l_{n}]に属するので,

 |a_{n}-\alpha|\leq l_{n}-m_{n}\leq \epsilon

が成り立ち,\{a_{n}\}\alphaに収束します.以上で証明終了です.

著者:安井 真人(やすい まさと)