アルキメデスの原理

高校では

\lim_{n\to\infty}n=\infty・・・(1)

を当たり前のものとして考えてきました.

今回は,式(1)を証明します.

 

式(1)を別のいい方でいうと次の定理となります.

 

定理6’:アルキメデスの原理

任意の二つの実数a>0,b>0に対して,na>bとなる自然数nが存在する.

 

式(1)は言い換えると

「任意の実数b>0に対して,n>bとなる自然数nが存在する」

なので,アルキメデスの原理においてa=1の場合と同じです.

ですから,式(1)はアルキメデスの原理より導かれます.

では,アルキメデスの原理を証明します.

 

【証明】

いま,任意の実数a>0,b>0をとります.

証明することは実数bは数列\{ an\}の上界でないということです.

仮に,実数bが上界なら,定理6「有界な単調数列は収束する」より,数列\{an\}は上限\alphaへ収束します.

上限の意味から,

 na\leq \alpha・・・(2)

が任意の自然数nで成り立ちます.

また,a>0なので

 \alpha-a<\alpha

となります.\alphaが上限なので,\alpha-aは上界とはなりません.なぜなら,上限とは上界の最小値だからです.

よって,

 \alpha-a<n^{\prime}a\Leftrightarrow \alpha<(n^{\prime}+1)a

となる自然数nが存在します.しかし,これは式(2)と矛盾します.

よって,背理法よりアルキメデスの原理が証明されました.

 

アルキメデスの原理の応用例1

では,応用例として

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0・・・(3)

を証明してみましょう.

式(3)は

「任意の実数\epsilon>0に対して,|1/n-0|<\epsilonとなる自然数nがある」

となります.

そこで,まず任意の実数\epsilonをとります.

そして,アルキメデスの原理より,

 n\epsilon>1,(a=\epsilon,b=1)

が成り立ちます.式変形すれば

 n\epsilon>1\Leftrightarrow \epsilon>1/n=|1/n|

なので式(3)が証明されました.

 

アルキメデスの原理の応用例2

 \lim_{n\to\infty}2^{-n}=0・・・(4)

を証明します.そこで,数学的帰納法で

 \frac{1}{n}>2^{-n}・・・(5)

を証明します.まず,n=1のときは

 1>1/2

で成り立ちます.また,nのとき成り立つとすると

 2^{-(n+1)}=2^{-1}2^{-n}<\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+n}\leq\frac{1}{n+1}

となり,n+1の場合も成り立ちます.

以上より式(5)は証明されました.

式(5)と式(3)より式(4)が得られます.

著者:安井 真人(やすい まさと)