集積点

いま二次元の点列\{a_{n,m}\}を考えます.ここで

\displaystyle a_{n,m}=\left(\frac{1}{n},\frac{1}{m}\right)

であり,n,mは自然数です.

この点列は点(1/n,0),(0,1/m),(0,0)の付近に無数の点が集まってきます.

このように,ある点付近に無数の点があるところを集積点と呼びます.

 

集積点に関して以下の定理が成り立ちます.

 

定理9.有界な無数の点の集合に関して,集積点は必ずある.

 

さきほど述べた点列(1/n,1/m)がその例です.

有限な枠の中に無限個の点を打てば,どこかに無限個の点が含まれる部分があるということです.

 

証明

各次元について証明できますがわかりやすくするため,2次元についてのみ証明します.

まず,無数の点の集合は有限なので,ある正方形Qで囲むことができます.

そして,Qを4等分します.

すると,領域が4つできて少なくとも一つの領域に無数の点があるはずです.

それを一つ選んでQ_{1}とします.

同様に4等分して,無数の点を含む領域を選んでいけば

Q\supset Q_{1}\supset Q_{2}\supset\cdots

となっていきます.ここで,Q_{i}の最小の座標を

(x_{i},y_{i})

とすれば

x\geq x_{1}\geq x_{2}\geq \cdots,

y\geq y_{1}\geq y_{2}\geq \cdots

となります.定理6「有界な単調数列は収束する」よりこれら二つはある値へ収束します.その値を

\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_{n}=\alpha,\lim_{n\to\infty}y_{n}=\beta

とします.

次にこの収束した点P=(\alpha,\beta)が集積点であることを証明します.

点Pを含むどんなに小さな領域をとっても,Q_{n}nを大きく取れば小さな領域にQ_{n}が含まれます.

よって,点Pを含む任意の領域はQ_{n}を含むことになり,無限な点も含まれることになります.

よって、Pは集積点となります.

以上で定理9は証明されました.

 

著者:安井 真人(やすい まさと)