区間縮小法の拡張

区間縮小法を多次元へと拡張した定理を証明します.

 

定理10. 有界な閉集合の列S_{1},S_{2},\cdotsにおいて

(1) S_{1}\supset S_{2}\supset \cdots\supset S_{n}\supset \cdots,

(2) nが限りなく大きいとき,S_{n}の径が限りなく小さくなる.

ならば,これらの集合S_{n}に共通な点がただ一つある.

 

【証明】

まずS_{1},S_{2},\cdotsから任意の点P_{1},P_{2},\cdotsを取り出します.

条件(1)より,P_{n},P_{n+1},\cdotsS_{n}に含まれます.

また,条件(2)よりP_{n},P_{m}の距離

 |P_{n}-P_{m}|

n,mが十分大きければ限りなく0に近づきます.

これは点列P_{1},P_{2},\cdotsがCauchyの収束条件を満たすことを意味します.

よって,定理8より,点列はある点Aに収束します.

Aは閉集合S_{n}の点P_{n},P_{n+1},\cdotsの集積点なので閉集合の定義より

 A\subset S_{n}

となります.nは任意なので,AS_{1},S_{2},\cdotsに含まれます.

Aがただ一つの点となることは,条件(2)から明らかです.

なぜなら,もし二点A,Bあるとすれば,A,Bの距離は有限なので条件(2)が成り立たないからです.

以上で証明終了です.

著者:安井 真人(やすい まさと)