関数におけるCauchyの収束条件

数列におけるCauchyの収束条件は覚えているでしょうか?

 

「任意の正数\epsilon>0をとり、数列\{a_{n}\}において

n,m>n_{n}ならば|a_{n}-a_{m}|<\epsilon

となるならば、数列\{a_{n}\}は収束する」

 

というものです。要するに、数列の番号を進めていき二つの項の差がどんどん0に近づいていけば収束するという定理です。

このことを関数の収束についてもおこなおうということです。

 

関数の場合

関数f(x)Aへ近づいているとして

 \displaystyle\lim_{x\to A}f(x)

が収束するための条件をCauchy風の表現でかくにはどうすればいいでしょうか?

 

とりあえず数列のときをまねて、

Aに近づいた2点を考えて関数値をとればよさそうです。

そこで、つぎのように表現します。

 

「関数f(x)が収束するための必要十分条件は

任意の正数\epsilon>0をとり、

|x_{1}-A|<\delta_{1},|x_{2}-A|<\delta_{2}ならば|f(x_{1})-f(x_{2})|<\epsilon

となることである」

 

これが関数におけるCauchyの収束条件です。

著者:安井 真人(やすい まさと)