中間値の定理

中間値の定理

連続関数にはいくつかたいせつな性質があります。

そのひとつが中間値の定理です。

中間値の定理を以下にかきます。

 

定理12. 【中間値の定理】

ある区間において連続な関数f(x)がこの区間に属する点において相異なる値f(a)=\alpha,f(b)=\betaをとるとき、\alpha<\mu<\betaとなる任意の値\muにおいて

a<c<b,f(c)=\mu

となるcが存在する。

 

解説

中間値の定理とは簡単にいうと

「連続なら中間地点があるでしょう」

ということです。

「マラソンのさい、走った道のりは連続なので、必ず中間地点が存在する」

というのが中間値の定理です。

いたって当たり前の定理です。では証明します。

 

証明

いま\alpha<\mu<\betaとなる値\muを任意にとります。

そして

 

F(x)=f(x)-\mu

 

とおけば

 

F(a)=\alpha-\mu<0,

F(b)=\beta-\mu<0

 

が成り立ち、[a,b]において連続となります(右図)。

F(a)<0で連続なので、aのある近傍ではF(x)<0となるような

 

区間[a,\xi]

 

が存在します(右図)。

 

F(b)>0,F(\xi)<0なので\xiには上限があります。

この上限をcとします。すると

 

F(c)=0

 

でなければなりません。

 

もしF(c)<0なら、

a=cとして同じ操作をすれば、

[c,\xi]F(x)<0となる\xiが存在します。

これはcが上限であることに反します。

 

もしF(c)>0なら、

cの近傍でF(c-\epsilon)>0となる正数\epsilon>0が存在します。

しかし、区間[a,c-\epsilon]F(x)<0がつねに成り立つことに反します。

 

よってF(c)=0でなくてはなりません。

著者:安井 真人(やすい まさと)