連続関数の一様性

定理の説明図

連続関数の性質の最後となりました。

一様性についての定理を証明していきます。

さっそくですが定理を述べます。

 

定理14【連続の一様性】

有界な閉区域Kにおいて、f(P)は連続とする。すると任意の正数\epsilonに対して、ある正数\delta>0が存在して、区域Kの任意の点P,Qに対して

 PQ<\deltaならば|f(P)-f(Q)|<\epsilon

がなりたつ。

 

解説

いきなり一様といわれてもピンとこないと思うので解説します。

一様とは、

「急激に変わらない」

ということだと思ってください。

 

たとえば、単位ステップ関数(右図)の場合、x=0で急激に変わります。

よって単位ステップ関数は原点で一様ではありません。

 

また

 y=1/x,x\neq 0

も原点付近で急激に変化するので一様ではありません。

実際に任意の正数を1として考えるといくら\delta>0を小さくしても原点付近に点x_{1},x_{2}をとれば

 \left| \frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}\right|<1

は成り立ちません。

 

では連続関数の一様性の証明にかかります。

 

証明

領域Kに属する点Pを中心として半径rの円をかいて、その周上と内部の点の集合をC(P,r)とします(右図の円)。

そして、K,C(P,r)のどちらにも属する領域をC_{r}とします(右図の赤色の領域)。

C_{r}は有界な閉集合なので「連続関数の最大値と最小値の定理」からC_{r}において関数fに最大値と最小値が存在します。

最大値と最小値の差を変動量といいv(P,r)とかくことにします。

 

閉集合Kの変動量をVとします。

そして任意の正数\epsilonをとります。

もし、任意の正数\epsilonに対して0\leq V<\epsilonが成り立てば定理は証明されるので、ある正数\epsilonに対して0<\epsilon\leq Vの場合を証明します。

 

この場合、v(P,r)<\epsilonを満たすrには上限があり、\rhoとおきます。

\rhoPの関数なので\rho(P)とかきます。

 

また\rho(P)>0がなりたつことが以下のようにして導かれます。

まず、関数fは連続なので十分小さいr_{0}>0をとれば、C_{r_{0}}に属する任意の二点A,Bについて

 |f(A)-f(P)|<\epsilon/2,|f(B)-f(P)|<\epsilon/2

が成り立ちます。よって

 |f(A)-f(B)|\geq |f(A)-f(P)|+|f(P)-f(B)|<\epsilon

が得られます。これよりv(P,r_{0})<\epsilonとなり\rho(P)\geq r_{0}>0が得られます。

ゆえに\rho(P)>0となります。

 

つぎに\rho(P)が連続関数であることを示します。

いま円C(P,\rho)の内部にKに属する点をとってQ,Pを通る直線をひきます。

そして、円C(P,\rho)との交点をA,Bとおきます。

 

QAよりも小さい半径で中心Qの円は、円C(P,\rho)に含まれます。

よってその円内のfの振動は、\epsilonよりも小さくなります。

従って、\rho(Q)\geq QAとなります。

 

一方、Qを中心としてQBよりも大きい半径をゆうする円は円C(P,\rho)を含むので、その中の振動量は円C(P,\rho)よりも大きくなります。

よって、\rho(Q)\leq QBが得られます。

 

ゆえに、

 \rho(P)-PQ=QA\leq \rho(Q)\leq QB=\rho(P)+PQ,

 \Leftrightarrow |\rho(P)-\rho(Q)|\leq PQ

が得られます。これはQを限りなくPへ近づければ、\rho(P)となることになり、関数\rhoは連続であることを意味します。

 

有界な閉区間Kにおいて連続な関数\rho(P)は最小値をもちます(定理13.連続関数の最大値と最小値の定理)。

それを\rho_{0}とおくと、\rho_{0}>0v(P,\rho_{0})\leq v(P,\rho/2)<\epsilonが得られます。

これはPQ<\rho_{0}となるとき|f(P)-f(Q)|\leq v(P,\rho_{0})\leq \epsilonを意味し、定理が証明されます。

著者:安井 真人(やすい まさと)