微分

今回からいよいよ微分に移っていきます。

微分とは変数を少し変えたら、関数の値はどれくらい変わるかについて考えたものです。

いま関数をy=f(x)として、変数がxからx_{1}へ少しずれた場合を考えます。

見易くするため、変数xの変化量を

 \Delta x=x_{1}-x

とおきます。

次に関数値の変化量を求めると

 \Delta y=y_{1}-y=y(x_{1})-y(x)

となります。

 

これより傾きを計算すると

 \displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}

が得られます。ここで|\Delta x|を限りなく小さくしたとき

 \displaystyle\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}

に極限値が存在するとき

 \displaystyle\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}

微分係数といい、関数y=f(x)x微分可能であるといいます。

 

もし、関数f(x)が区間\left[a,b\right]で微分可能ならば、f(x)は区間\left[a,b\right]で微分可能であるといい、極限値\frac{dy}{dx}xの関数となります。

そこでその関数をf(x)の導関数といい、f^{\prime}(x)とあらわします。これは

 \displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{dy}{dx}

とも書き表すことができます。

 

dy,dxの扱い方

dy,dx\Delta y,\Delta xのようにわけて考えていいようにdy,dxを定義します。

そこで関数y=f(x)について考えます。そして、

 \Delta y=y(X)-y(x)=A(x)(X-x)+\epsilon(X,x)(X-x)=A(x)\Delta x+\epsilon(X,x)\Delta x

とかけたとします。ここでxが固定されているとき

 \displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\epsilon (X,x)=0

が成り立つとします。すると

 f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}A(x)+\epsilon =A(x)

となります。例として、y=x^{2}で考えると

 \Delta y=X^{2}-x^{2}=(x+\Delta x)^{2}-x^{2}=2x\Delta x+\Delta x\Delta x

となります。つまり、A=2x,\epsilon=\Delta xです。

\Delta xが小さいときのA\Delta x\epsilon\Delta xを比べます。

すると、A\Delta xでは\Delta xだけですが、\epsilon\Delta xでは\epsilon\Delta xの二つが小さい値をとります。

ですから、

 \Delta y=A\Delta x+\epsilon\Delta x

A\Delta xは関数f(x)の主要部分となります。

そこで、A\Delta xを関数f(x)の点xにおける微分と名付けて、

 dy=A\Delta x=f^{\prime}(x)\Delta x

とします。これがdyの定義です。xx自身の関数とみればx^{\prime}=1なので

 dx=x^{\prime}\Delta x=\Delta x

となります。これをdy=f^{\prime}(x)\Delta xに代入すれば

 dy=f^{\prime}(x)dx

が得られます。これを

 \displaystyle\frac{dy}{dx}=f^{\prime}(x)

とかけば、記号\frac{dy}{dx}dydxでわった「商」としての意味ももつようになります。

 

これで、dy,dxを独立した変数としてみることの正当化がされたことになります。

 

著者:安井 真人(やすい まさと)