微分の公式

いくつか微分の公式を導いていきます。

 

定理15. 微分の公式

ある区間において、xの関数u,vが微分可能ならば

(1) \displaystyle (u\pm v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime},

(2) \displaystyle(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime},

(3)\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^{2}}

が成り立つ。

 

公式(1)の証明

 \displaystyle\Delta(u+v)\\=(u(X)+v(X))-(u(x)+v(x))\\=(u(X)-u(x))+(v(X)-v(x))\\=\Delta u+\Delta v

より、

 \displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta (u+v)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}+\frac{\Delta v}{\Delta x}=u^{\prime}+v^{\prime}

が得られます。マイナスも同様です。

 

公式(2)の証明

 \displaystyle\Delta (uv)\\=(u+\Delta u)(v+\Delta v)\\=\Delta u\cdot v+u\Delta v+\Delta u\Delta v

より

 \displaystyle\frac{\Delta(uv)}{\Delta x}=\frac{\Delta u}{\Delta x}v+u\frac{\Delta v}{\Delta x}+\frac{\Delta u}{\Delta x}\Delta v

となり、\Delta x\to 0のとき

 \displaystyle\frac{\Delta u}{\Delta x}=\frac{du}{dx},\frac{\Delta v}{\Delta x}=\frac{dv}{dx},\Delta v=0

なので

 \displaystyle\frac{d(uv)}{dx}=\frac{du}{dx}v+u\frac{dv}{dx}

が成り立ちます。

 

公式(3)の証明

 \displaystyle\Delta\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u+\Delta u}{v+\Delta v}-\frac{u}{v}=\frac{u\Delta v-u\Delta v}{v(v+\Delta v)}

が成り立ち、\Delta x\to0のとき

 \displaystyle\frac{\Delta u}{\Delta x}\to \frac{du}{dx},\frac{\Delta u}{\Delta x}\to \frac{du}{dx},\Delta v\to 0

なので、

 \displaystyle\frac{d}{dx}\left(\displaystyle\frac{u}{v}\right)=\frac{\displaystyle\frac{du}{dx}v-u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}

が成り立ちます。

著者:安井 真人(やすい まさと)