微分可能ならば連続

微分の性質として

 

定理16. 微分可能ならば連続である

 

があります。

ここでは、この定理を証明していきます。

 

証明

関数y=f(x)が微分可能だとすると

 \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

に極限が存在します。それをAとおいて

 \displaystyle\lim_{h\to 0}f(x+h)

を計算すると

 \displaystyle\lim_{h\to 0}f(x+h)\\=\lim_{h\to 0}f(x+h)-f(x)+f(x)\\=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}h+f(x)\\=A\times 0+f(x)\\=f(x)

となります。よって関数f(x)は連続となります。

 

逆は成り立つか

連続な関数はすべて微分可能でしょうか?

このことは成り立ちません。実際に、関数

 y=|x|

を考えてみてください。x=0

 \displaystyle\lim_{h\to 0}|h|=0=f(0)

となるので連続ですが、

 \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h}=\pm 1

となり、正の方から近づけば1になり、負の方から近づけば-1となります。

よって、微分不可能です。

以上のことから、連続関数のなかにも微分できないものが存在することがわかります。

著者:安井 真人(やすい まさと)