合成関数の微分

合成関数の微分を計算します。

まず、関数y=f(x)は区間x_{0}\leq x\leq x_{1}におけるxの関数として、関数g(t)は区間t_{0}\leq t\leq t_{1}におけるtの関数とします。

もしも、g(t)x_{0},x_{1}の間のみを取るならば、y=f(x)=f(g(t))tの関数になります。

この際のf(g(t))の微分を計算します。

すると以下の定理が成り立ちます。

 

定理17.合成関数の微分

y=f(x),x=g(t)が微分可能ならばF(t)=f(g(t))も微分可能で

 \displaystyle\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}

となる。

例を一つあげます。

 y=(t+1)^{2}

この関数は、x=t+1とおけば

 y=x^{2},x=t+1

となります。これに定理17を適応すれば

 \frac{dy}{dt}\\=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\\=\frac{d}{dx}(x^{2})\frac{d}{dt}(t+1)\\=2x\times 1 \\=2x\\=2(t+1)

が得られます。このように合成関数の微分をしっていると簡単に計算できます。

証明

変数tに関する変動を\Delta tとし、それにともなうy,xの変動をそれぞれ\Delta y,\Delta xとします。すると

 \Delta y=f^{\prime}(x)\Delta x+\epsilon_{1} \Delta x, \\ \Delta x=g^{\prime}(t)\Delta t+\epsilon_{2}\Delta t

が得られます。これより、

 \displaystyle\Delta y=(f^{\prime}(x)+\epsilon_{1})(g^{\prime}(t)+\epsilon_{2})\Delta t\\ =f^{\prime}(x)g^{\prime}(t)\Delta t+\left[ \epsilon_{1}g^{\prime}(t)+\epsilon_{2}f^{\prime}(x)+\epsilon_{1}\epsilon_{2}\right]\Delta t

となります。ここで

 \epsilon_{3}=\epsilon_{1}g^{\prime}(t)+\epsilon_{2}f^{\prime}(x)+\epsilon_{1}\epsilon_{2}

とすれば、\Delta t\to 0のとき\epsilon_{3}\to 0

 \Delta y=f^{\prime}(x)g^{\prime}(t)\Delta t+\epsilon_{3}\Delta t

が導かれます。よって

 dy=f^{\prime}(x)g^{\prime}(t)dt

となります(dyに関する意味はこちらの記事を参照)。これより

 \displaystyle\frac{dy}{dt}=f^{\prime}(x)g^{\prime}(t)

が得られます。

著者:安井 真人(やすい まさと)