ロル(Rolle)の定理

導関数の性質であるロルの定理を証明します。

 

定理19. ロルの定理

f(x)は区間\left[a,b\right]で連続、(a,b)で微分可能とする。そして、f(a)=f(b)ならば、区間(a,b)のある点においてf^{\prime}(x)=0となる。

 

解説

この定理はただ単に

「高さが同じ二つの地点をなめらかにつなげば、必ずどこかに水平な部分がある」

と言っているだけです。

 

証明

f(a)=f(b)=0の場合を考えます。もし0でない値kなら

 g(x)=f(x)-k

として考えれば同じことです。

 

f(x)=0が全ての区間について成り立つなら、つねに傾きは0なので定理はなりたちます。

もし、f(x)が正の値をとるなら、区間\left[a,b\right]におけるf(x)の最大値は正の値をとります。

連続な関数は閉区間で最大値を持つので(定理13)、それを

 f(\xi)>0,a<\xi<b

とします。

 \Delta f=f(\xi +\Delta x)-f(\xi)

とおくと、f(\xi)は最大値なので

 \Delta f\leq 0

となります。そして

\Delta x>0ならば\displaystyle \frac{\Delta f}{\Delta x}\leq 0となり、f^{\prime}(\xi)\leq 0

\Delta x>0ならば\displaystyle \frac{\Delta f}{\Delta x}\geq 0となり、f^{\prime}(\xi)\geq 0

なのでf^{\prime}(\xi)=0が得られます。

 

もしもf(x)が負の値のみをとるなら、最小値を考えればいいです。

 

著者:安井 真人(やすい まさと)