微分係数と傾き

関数のグラフをかくときに役に立つ以下の定理を証明します。

 

定理22. ある区間において常に

  • f^{\prime}(x)>0ならば、f(x)は単調に増大する
  • f^{\prime}(x)<0ならば、f(x)は単調に減少する
  • f^{\prime}(x)=0ならば、f(x)は定数である

 

証明

ある区間において常にf^{\prime}(x)>0であるとします。

すると平均値の定理より、区間内の任意の二点a,bにおいて、それらの中間の一点\xiに関して

 \displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(\xi)>0

が成り立ちます。よってa<bならば

 f(a)<f(b)

となります。ゆえに関数f(x)は単調に増加します。

他の二つも同様に証明できます。

著者:安井 真人(やすい まさと)