導関数の連続性

導関数は必ずしも連続とは限りません。例えば、

 \displaystyle f(x)=x^{2}\sin\frac{1}{x}

の導関数について考えます。x\neq 0なら

 \displaystyle f^{\prime}(x)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}

となります。x\to 0にすると\pm 1を行ったり来たりするので収束しません。

 

x=0のときは

 \displaystyle f^{\prime}(0)=\lim_{h\to 0}\frac{h^{2}\sin\frac{1}{h}-0}{h}=\lim_{h\to 0}h\sin\frac{1}{h}=0

が得られます。

 

よって、

 \displaystyle \lim_{x\to 0}f^{\prime}(x)\neq f^{\prime}(0)

となります。

ゆえに、導関数は必ずしも連続とはなりません。

 

ただし、以下の定理は成り立ちます。

 

定理23. f(x)が連続な区間内の一点aは別として、aの近傍ではf(x)が微分可能で\displaystyle \lim_{x\to a}f^{\prime}(x)=lが存在するならば、

 \displaystyle f^{\prime}(a)=l

が成り立つ。

 

証明

平均値の定理によってx>aのとき

 \displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime}(\xi)

となる\xia<\xi<xで存在します。

よってx\to aのとき\xi\to aとなります。

ゆえに仮定により

 \displaystyle f^{\prime}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{\xi\to a}f^{\prime}(\xi)=l

が成り立ちます。

著者:安井 真人(やすい まさと)