導関数の中間値の定理

導関数に関しては、連続でなくても中間値の定理が成り立ちます。

つまり、以下の定理が成り立ちます。

 

定理24. f(x)\left[ a,b\right]において微分可能なとき、\mu

 f^{\prime}(a)<\mu<f^{\prime}(b)

とすれば、

 f^{\prime}(\xi)=\mu,a<\xi<b

となる\xiが存在する。

 

証明

 F(x)=f(x)-\mu x

とおいて

 F^{\prime}(a)=f^{\prime}(a)-\mu<0\\F^{\prime}(b)=f^{\prime}(b)-\mu>0

と仮定し、

 F^{\prime}(\xi)=0,a<\xi<b

となる\xiの存在を示せばいいです。

x=a,bでは連続関数F(x)は最小値をとりません。

というのも、

 F^{\prime}(a)=f^{\prime}(a)-\mu<0\\F^{\prime}(b)=f^{\prime}(b)-\mu>0

なので

F(a)F(b)よりもF(a+\Delta x)F(b-\Delta x)の方が小さいからです(\Delta x>0とする)。

よって、a<\xi<bとなる\xiF(x)が最小値をとります。

すると

 F^{\prime}(\xi)=0

でなくてはいけません。

なぜなら、もし0でないと\xi+\Delta xF(\xi)よりも低い値をとってしまうからです。

よって

 F^{\prime}(\xi)=f^{\prime}(\xi)-\mu=0\\ \Leftrightarrow f^{\prime}(\xi)=\mu

となる\muの存在が示され、証明終了です。

著者:安井 真人(やすい まさと)