凸関数

凸関数

関数y=f(x)のグラフ上で、任意の二点A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})の間で、グラフが弦ABの下側にあるとき、

関数y=f(x)は下向きの凸関数といいます。

ようするに以下のような関数です。

このことを式で書くと

 \displaystyle \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})+y_{1}\geq y\\ \Leftrightarrow (y_{2}-y_{1})(x-x_{1})-(y-y_{1})(x_{2}-x_{1})\geq 0 \\ \Leftrightarrow \left| \begin{array}{ll}x-x_{1}&x_{2}-x_{1}\\ y-y_{1}& y_{2}-y_{1}\end{array}\right|\geq 0\\ \Leftrightarrow \left| \begin{array}{lll}1&1&1\\ x_{1}&x&x_{2}\\y_{1}&y&y_{2}\end{array}\right|\geq 0

となります。これは

 \displaystyle \frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\leq \frac{y_{2}-y}{x_{2}-x}

ともかけます。また、先ほど見せたグラフの傾きを比べると

 \displaystyle \frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\leq \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\leq \frac{y_{2}-y}{x_{2}-x}

とかくこともできます。

 

二階の導関数と凸関数には以下の定理が成り立ちます。

 

定理25. 凸関数と二階の導関数

f^{\prime\prime}(x)が存在する場合、

区間内で常にf^{\prime\prime}(x)\geq 0\Leftrightarrow f(x)は凸関数である。

 

証明

1) \Leftarrow の証明

いま区間内で任意にx_{1}<x<x_{2}をとります。

すると平均値の定理より

 \displaystyle f^{\prime}(\xi_{1})=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}},x_{1}<\xi_{1}<x,

 \displaystyle f^{\prime}(\xi_{2})=\frac{y_{2}-y}{x_{2}-x},x<\xi_{2}<x_{2}

となる\xi_{1},\xi_{2}が存在します。

 f^{\prime\prime}(x)\geq 0

が区間内でつねに成り立つのでf^{\prime}(x)は増加関数となります。よって

 f^{\prime}(\xi_{1})\leq f^{\prime}(\xi_{2})

が成り立ちます。ゆえに

 \displaystyle \frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\leq \frac{y_{2}-y}{x_{2}-x}

となり、f(x)が凸関数であることがわかります。

 

2)\Rightarrowの証明

任意にx_{1}<x<x_{2}をとるとf(x)が凸関数であることから

 \displaystyle \frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\leq \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\leq \frac{y_{2}-y}{x_{2}-x}

が成り立ちます。ここでx\to x_{1}とすると

 \displaystyle f^{\prime}(x_{1})\leq \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}

が成り立ち、x\to x_{2}とすると

 \displaystyle \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\leq f^{\prime}(x_{2})

となります。これらより

 f^{\prime}(x_{1})\leq f^{\prime}(x_{2})

が得られます。よってf^{\prime}(x)は区間内で単調に増加します。よって

 f^{\prime\prime}(x)\geq 0

が成り立ちます。

著者:安井 真人(やすい まさと)