多変数関数の微分

多変数関数の微分について解説します。

その前に、一変数関数の微分について復習します。

 

関数f(x)の微分は

 \displaystyle A=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

という極限が存在することです。

 

これを別の言い方にすると

 h\to 0

のとき

 \displaystyle A=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+o(1)

となるということができます。

ここでo(1)は、1のオーダーという意味で、

 \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{o(1)}{h}=0

となります。

 

さらに言い換えると

 h\to 0

のとき

 f(x+h)-f(x)=Ah+o(h)

となります。ここでo(h)hのオーダーという意味で

 \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{o(h)}{h^{2}}=0

となります。

 

多変数の微分

さて、先ほどの言い換えを使うと、多変数の微分に簡単に拡張できます。

つまり

 h\to 0

のとき

 f(x+h_{1},y+h_{2})-f(x,y)=A_{1}h_{1}+A_{2}h_{2}+o(|h_{1}|+|h_{2}|)・・・(1)

となるとき、関数f(x,y)は微分可能といいます。

そして、

 A_{1}h_{1}+A_{2}h_{2}

を全微分といいます。

これらの係数A_{1},A_{2}

 \displaystyle A_{1}=\frac{\partial f}{\partial x}\\A_{2}=\frac{\partial f}{\partial y}

となります。

実際、式(1)で

 h_{2}=0

としてh_{1}\to 0とすれば

 \displaystyle A_{1}=\lim_{h_{1}\to 0}\frac{f(x+h_{1},y)-f(x,y)}{h_{1}}+o(|h_{1}|)\\=\frac{\partial f}{\partial x}

となります。

同様にh_{1}=0として、h_{2}\to 0とすれば

 \displaystyle A_{2}=\lim_{h_{2}\to 0}\frac{f(x,y+h_{2})-f(x,y)}{h_{2}}+o(|h_{2}|)\\=\frac{\partial f}{\partial x}

となります。

よって、式(1)は

 \displaystyle f(x+\Delta x,y+\Delta y)=f(x,y)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(|\Delta x|+|\Delta y|)

となります。

これが意味していることは、

微分可能な多変数関数は一次関数で近似できる

ということです。

一次関数はとても簡単で便利な関数です。

よって、よく一次関数で近似してしまうことがあります。

ですから、微分可能な関数は一次関数で近似できることをしっかり押さえておきましょう。

著者:安井 真人(やすい まさと)