多変数関数が微分可能かチェックする

多変数関数が微分可能かチェックできる定理を紹介します。

ここでは2変数関数f(x,y)について考えていきます。

 

まず、2変数関数が微分可能であることの定義を復習します。

2変数関数が微分可能であるとは

\displaystyle f(x+\Delta x,y+\Delta y)=f(x,y)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+O(|\Delta x|^{2}+|\Delta y|^{2})

と関数がかけることです。

ここで、O(|\Delta x|^{2}+|\Delta y|^{2})|\Delta x|^{2}+|\Delta y|^{2}のオーダーの関数を意味します。

たとえば、

\Delta x^{2}+2\Delta y^{3}

といった関数です。

 

定理

ある領域において\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}が存在し、連続ならば、関数f(x,y)はその領域で微分可能となる。

解説

定理を見ただけでは理解できないと思うので解説します。

例としてf(x,y)=xyを考えてみましょう。

まず、偏微分すると

\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=y,\\\frac{\partial f}{\partial y}=x

となります。これらの微分係数はすべてのxy領域で存在して連続なので、この定理から関数f(x,y)は微分可能となることがわかります。

よって、

f(x+\Delta x,y+\Delta y)=xy+y\Delta x+x\Delta y+O(\Delta x^{2}+\Delta y^{2})

で近似できることになります。

 

一方、\displaystyle f(x,y)=\frac{x}{y}だと

\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{y},\\\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{x}{y^{2}}

なので、y=0で微分係数が存在しません。

よって、y=0では微分可能であることは保障できません。

一方、y\neq 0では微分可能となります。

 

この定理は

偏微分するだけで微分可能かチェックできる便利な定理

です。しっかり身に着けておきましょう。

証明

f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)\\=\{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)\}+\{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)\}

となります。ここで平均値の定理を利用すると

\displaystyle f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)=\Delta x\frac{\partial f}{\partial x}(x+\theta\Delta x,y+\Delta y),0<\theta<1,\\f(x,y+\Delta y)-f(x,y)=\Delta y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y+\theta^{\prime}\Delta y),0<\theta^{\prime}<1

となります。

 

ここで\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}が連続であることを使うと

\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(x+\theta\Delta x,y+\Delta y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+\epsilon,\\\frac{\partial f}{\partial y}(x,y+\theta^{\prime}\Delta y)=\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)+\epsilon^{\prime}

となり、\Delta x,\Delta y\to 0のとき

\epsilon\to 0,\epsilon^{\prime}\to 0

となります。

 

よって、

\displaystyle f(x+\Delta x,y+\Delta y)\\=\Delta x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+\Delta y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)+\Delta x\epsilon+\Delta y\epsilon^{\prime}\\=\Delta x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+\Delta y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)+O(\Delta x^{2}+\Delta y^{2})

が得られます。

これは、微分可能であることを示しています。

著者:安井 真人(やすい まさと)