極大と極小

kyokusyo

数学の問題では、極大と極小値を求める問題が重要なことが多いです。

ここでは、極大と極小について解説します。

はじめに極大と極小の定義から始めます。

定義

関数f(x)が点x_{0}で極小であることは、

ある正数\delta

0<|x-x_{0}|<\delta

となるすべての点xにおいて

f(x)-f(x_{0})>0

となることをいいます。

解説

下の図を見てください。

kyokusyo

ある区間の関数をあらわしています。

赤色の部分が極小で、オレンジが極大です。

区間の中で最も低い部分が最小値となり、最も高い部分が最大値となります。

ここでは、左から二番目の極小値が最小値となっています。

微分と極値の関係

微分可能な関数の微分係数が0だと平らになります。

極地の部分も平らなので、

微分係数が0の部分は極値になりやすい

ということはすぐにわかると思います。

このことを述べた以下の定理を証明します。

定理

関数f(x)の定義域の内点x_{0}(定義域の端でない点)で、f(x)が微分可能とします。このとき

x=x_{0}が極値ならば、f^{\prime}(x_{0})=0

が成り立ちます。

証明

極値となるx_{0}の十分近くで

a<x_{0}<b,f(a)=f(b)

となる点をとります。するとロルの定理より区間(a,b)f^{\prime}(x)=0となる点が存在します。

そして、

a\to x_{0},b\to x_{0}

とすれば

x\to x_{0}

となるので

f^{\prime}(x)=0

が成り立ちます。

著者:安井 真人(やすい まさと)