積分

n次元体積

あるn次元の有界閉区間

I=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times\cdots [a_{n},b_{n}]

のn次元体積v(I)

v(I)=(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})\cdots (b_{n}-a_{n})

と定義します。

 

たとえば、

I=[2,4]\times [1,3]

の体積は

v(I)=(4-2)(3-1)=2\times 2=4

となります。

 

分割

一次元空間I=[a,b]の分割とは、Iの内点で分けることをいいます。

たとえば

a<x_{1}<x_{2}<x_{3}<b

Iを分割することができます。

 

n次元の場合も、同じように分割できます。たとえば

I=[a_{1},b_{1}]\times[a_{2},b_{2}]

a_{1}<x_{1}<b_{1},

a_{2}<y_{1}<y_{2}<b_{2}

[a_{1},x_{1}]\times[a_{2},y_{1}],[a_{1},x_{1}]\times[y_{1},y_{2}],[a_{1},x_{1}]\times[y_{2},b_{2}],

[x_{1},b_{1}]\times[a_{2},y_{1}],[x_{1},b_{1}]\times[y_{1},y_{2}],[x_{1},b_{1}]\times[y_{2},b_{2}]

に分割できます。

 

一般の閉区間Iは閉区間の和で

\displaystyle I=\sum_{k=1}^{\infty}I_{k}

と表すことができます。

 

リーマン和

閉区間Iで定義された関数f(x_{1},\cdots,x_{n})のリーマン和は以下のように定義します。

まず、閉区間を\Deltaで分割し、それぞれ分割した閉区間I_{k}の任意の点をxi_{k}とし

\displaystyle s(f;\Delta;\xi)=\sum_{k\in \Delta}f(\xi_{k})v(I_{k})

をリーマン和といいます。

たとえば

f(x,y)=x+y

の区間[0,2]\times[0,2]のリーマン和を考えましょう。

まず、区間を

I_{1}=[0,1]\times[0,1],I_{2}=[0,1]\times[1,2],I_{3}=[1,2]\times[0,1],I_{4}[1,2]\times[1,2]

と分割します。そして、それぞれの区間の点を

\xi_{1}=(0.5,0.5)\in I_{1},\xi_{2}=(0.5,1.5)\in I_{2},\xi_{3}=(1.5,0.5)\in I_{3},\xi_{4}=(1.5,1.5)\in I_{4}

とします。するとリーマン和は

s(f;\Delta;\xi)\\=f(0.5,0.5)(1-0)(1-0)+f(0.5,1.5)(1-0)(2-1)\\+f(1.5,0.5)(2-1)(1-0)+f(1.5,1.5)(2-1)(2-1)\\=1+2+2+3=8

となります。

 

積分

分割を細かくしていき、0に近づけた際にリーマン和が収束するとき、fIで可積分であるといいます。そして

\displaystyle J=\int_{I}f(x)dx

とかきます。つまり

\displaystyle J=\lim_{d(\Delta)\to 0}s(f;\Delta;\xi)

となります。ここで、d(\Delta)は分割\Deltaのうちの最大値となります。

著者:安井 真人(やすい まさと)