積分の線形性

積分の性質の一つである線形性を証明します。

定理

積分可能な関数f,gがあります。このとき、有界閉区間Iにおいて

\int_{I}(f+g)=\int_{I}f+\int_{I}g\\\int_{I}cf=c\int_{I}f

が成り立ちます。

証明

Iを任意に分割し、分割を\Deltaとおきます。

そして、分割\Deltaの領域I_{k}の点を\xi_{k}\in I_{k}とおきます。すると

s(f+g;\Delta;\xi)\\=\sum_{k}(f(\xi_{k})+g(\xi_{k}))v(I_{k})\\=\sum_{k}f(\xi_{k})v(I_{k})+\sum_{k}g(\xi_{k})v(I_{k})\\=s(f;\Delta;\xi)+s(g;\Delta;\xi),

s(cf;\Delta;\xi)\\=\sum_{k}cf(\xi_{k})v(I_{k})\\=c\sum_{k}f(\xi_{k})v(I_{k})\\=cs(f;\Delta;\xi)

が成り立ちます。

f,gは積分可能なので

\int_{I}(f+g)=\int_{I}f+\int_{I}g\\\int_{I}cf=c\int_{I}f

が成り立ちます。

著者:安井 真人(やすい まさと)