積分の単調性

積分の線形性に引き続き、積分の単調性について解説します。

積分の単調性とは以下の定理のことをいいます。

定理

関数f,gが領域I上で積分可能で

f(x)\leq g(x)

I上のすべての点で成り立つならば、

\displaystyle\int_{I}f\geq\int_{I}g

が成り立ちます。

証明

任意にIを分割します。

そして、分割したI_{k}上の任意の点を\xi\in I_{k}とします。

すると仮定から

\displaystyle s(f;\Delta;\xi)=\sum_{k}f(\xi_{k})v(I_{k})\leq\sum_{k}g(\xi_{k})v(I_{k})=s(g;\Delta;\xi)

が成り立ちます。よって

max(I_{k})\to0

とすれば、

\displaystyle\int_{I}f\geq\int_{I}g

が得られます。

著者:安井 真人(やすい まさと)