積分の平均値の定理

積分の平均値の定理

積分の平均値の定理について解説します。

積分の平均値の定理とは以下の定理のことをいいます。

定理

領域I上で積分可能な関数fがあります。

また、I上の上限と下限をそれぞれM,mとします。すると

\displaystyle\int_{I}f=\mu v(I),m\leq \mu\leq M

となる変数\muが存在します。

解説

下の図のように、関数f(x)を積分した値と、上限と下限の中間にある値による長方形の面積が等しくなります。

積分の平均値の定理

これが、この定理がいっている内容です。

 

証明

任意のx\in Iに対して

m\leq f(x)\leq M

が成り立ちます。また、積分の単調性から

\displaystyle\int_{I}m\leq\int_{I}f\leq\int_{I}M\\\Leftrightarrow mv(I)\leq\int_{I}f\leq Mv(I)

が成り立ちます。

v(I)=0

ならば、

\displaystyle 0\leq\int_{I}f\leq 0\\\Leftrightarrow\int_{I}f=0=\mu v(I)

となります。一方、v(I)>0ならば

\displaystyle\mu=\frac{1}{v(I)}\int_{I}f

とおけば、

\displaystyle mv(I)\leq\int_{I}f\leq Mv(I)\\\Leftrightarrow mv(I)\leq\mu v(I)\leq Mv(I)\\\Leftrightarrow m\leq \mu\leq M

が得られ、証明終了です。

著者:安井 真人(やすい まさと)