一次元での積分

これまでの内容はn次元でしたが、1次元の積分をよく使うので1次元の積分に焦点をしぼります。

定義

まず積分の定義はn次元の定義を1次元で述べればよく、

閉区間I=[a,b]での関数f(x)の積分を

\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx

とかきます。この値は以下のように定義します。

まず、閉区間を任意に\Deltaで分割して、分割した閉区間I_{k}=[a_{k},a_{k+1}]内の点を\xi_{k}とします。

また、分割した閉区間I_{k}の中で、長さの最大値をd(\Delta)とします。

そして

\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{d(\Delta)\to 0}\sum_{k}f(\xi_{i})(a_{k+1}-a_{k})

と定義します。これを関数f(x)の閉区間[a,b]での定積分といいます。

 

練習

ためしに

\displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}dx

を計算してみます。まず、閉区間を

I_{k}=[k/n,(k+1)/n],k=0,1,\cdots,n-1

で分割します。そして、

\xi_{k}=k/n

とします。すると

\displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}dx\\=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{k^{2}}{n^{2}}\frac{1}{n}\\=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{3}}\sum_{k=0}^{n-1}k^{2}

となります。ここで、公式

\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}k^{2}=\frac{1}{6}(n-1)n(2n-1)

を利用すれば

\displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}dx\\=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{3}}\frac{1}{6}(n-1)n(2n-1)\\=\frac{1}{3}

が得られます。

ここで注意ですが、収束値が計算からわかりましたが、もしかしたら分割法を変えたら収束しないかもしれません。

ですから、以上の計算では積分値が1/3となることをいいきることはできません。

「連続関数は積分可能である」という定理を使ってはじめていいきることができます。

 

積分の性質

(1)加法性

\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx

が成り立ちます。これを積分の加法性といいます。

 

(2)線形性

\displaystyle\int_{a}^{b}(C_{1}f(x)\pm C_{2}g(x))dx=C_{1}\int_{a}^{b}f(x)dx\pm C_{2}\int_{a}^{b}g(x)dx

を積分の線形性といいます。

 

(3)単調性

閉区間[a,b]で関数f(x),g(x)が積分可能で

f(x)\geq g(x)

ならば

\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx\geq \int_{a}^{b}g(x)dx

が成り立ちます。

 

(4)絶対値

\displaystyle\left|\int_{a}^{b}f(x)dx\right|\leq\int_{a}^{b}\left|f(x)\right|dx

が成り立ちます。以下に証明を述べます。

まず、

|f(x)|\geq f(x),|f(x)|\geq -f(x)

であることと単調性を使えば

\displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|dx\geq \int_{a}^{b}f(x)dx,\\\int_{a}^{b}|f(x)|dx\geq -\int_{a}^{b}f(x)dx\\\Leftrightarrow -\int_{a}^{b}|f(x)|dx\leq\int_{a}^{b}f(x)dx\leq\int_{a}^{b}|f(x)|dx

より

\displaystyle\left|\int_{a}^{b}f(x)dx\right|\leq\int_{a}^{b}\left|f(x)\right|dx

が得られます。

著者:安井 真人(やすい まさと)