集合と写像

集合と写像

線形代数を学ぶ前に、基本事項として「集合」と「写像(しゃぞう)」について解説します。

これらの概念は数学における基本中の基本なのでここでしっかり理解しておきましょう。

集合

はじめに集合について定義します。

集合と元

ものの集まりのことを集合という。そして集合を構成するものを元といい、元aが集合Aに含まれることを

 a\in A

と記述する。

例えば、

1,2,3

という数の集まりを集合といいます。

いま、1,2,3の集合をAと置きます。

このことを

 A=\{1,2,3\}

と表すことができます。

写像

集合間の関係を表すのに写像を使います。

例えば、

  • リンゴ:100円
  • みかん:80円
  • スイカ:2000円

の場合は

 A=\{リンゴ、みかん、スイカ\}

 B=\{100,80,2000\}

という集合を導入します。そして

集合A  f 集合B
リンゴ  → 100
みかん  → 80
スイカ  → 2000

という対応関係fが写像となります。

 

つまり、写像とは以下の様な定義になります。

写像

写像とは、集合Aの各元に対して集合Bの元を対応させる規則のことをいう。

写像が等しいとは

続いて写像が等しいことを定義します。

等しい写像

いま集合Aから集合Bへの写像が二つf,gあったとする。

そして、集合Aのすべての元a\in Aに対して

 f(a)=g(a)

となる場合、写像f,gは等しいといい

 f=g

とかく。

いま、集合

 A=\{1,2,3\},

 B=\{0,1\}

があり、それに対応した関数

 f:A\to B,2で割った余り

 g:A\to B,1なら1,2なら0,3なら1とする

があったとします。このとき、関数fの対応関係は2で割った余りなので

「1なら1、2なら0、3なら1」

となります。これからわかるように関数gと対応関係が同じです。よって、

 f=g

となります。

合成写像

続いて合成写像の定義です。

合成写像

集合A,B,Cがあり、AからBへの写像fと、BからCへの写像gがあったとする。

このとき、Aの各元a\in Aに対して、Cの元g(f(a))を対応させた写像をfg合成写像という。

f,gの合成写像をf\circ gもしくはfgとかく。

例えば

 A=\{1,2,3\},\\B=\{0,1\},\\C=\{4,5\}

の集合において

集合A  f 集合B
1  → 0
2  → 1
3  → 0
集合B  g 集合C
0  → 4
1  → 5

 という写像f,gがあったとすれば、これらの合成写像は

集合A  f\circ g 集合C
1  → 4
2  → 5
3  → 4

となります。

一対一対応

一対一対応

集合AからBへの写像fがあったとする。

このとき、もしAのすべての元とBのすべての元が一対一に対応するとき、fを集合ABとの一対一対応という。

例えば、

 A=\{リンゴ、みかん、スイカ\}

 B=\{100,80,2000\}

という集合を導入します。そして

集合A  f 集合B
リンゴ  → 100
みかん  → 80
スイカ  → 2000

という写像fを導入すれば、写像fABとの間の一対一対応となります。

変換

変換

集合AからA自身への写像をA変換という。

例えば、1次関数のように実数から実数への関数は変換となります。

著者:安井 真人(やすい まさと)