直線をベクトルで表記する

直線をベクトルで表記する

直線は点が無数に集まった集合です。ここでは、この直線をベクトルで表記する方法を学びます。

直線をベクトルで表記する

まず、以下のような直線lを考えます。

vec

ここで、直線lに平行なベクトルを\textbf{\emph{a}}とし、直線l上のある点をQとします。すると直線l上の任意の点Pは点Pの位置ベクトルを\textbf{\emph{x}}とすれば

 \textbf{\emph{x}}=\textbf{\emph{x}}_{1}+k\textbf{\emph{a}}

となります。ここでkは実数です。

では、問題を通して理解していきます。

 \textbf{\emph{x}}_{0}=\left(\begin{array}{c}2\\-1\\1\end{array}\right),\textbf{\emph{a}}=\left(\begin{array}{c}0\\1\\-2\end{array}\right)

のとき、\textbf{\emph{x}}_{0}を通り、\textbf{\emph{a}}に平行な直線をベクトルで表しなさい。

 \textbf{\emph{x}}=\textbf{\emph{x}}_{0}+k\textbf{\emph{a}}

なので、直線は

 \textbf{\emph{x}}=\left(\begin{array}{c}2\\-1\\1\end{array}\right)+k\left(\begin{array}{c}0\\1\\-2\end{array}\right)\\=\left(\begin{array}{c}2\\-1+k\\1-2k\end{array}\right)

となります。ここでkは実数です。

法線ベクトル

直線に垂直なベクトルを法線ベクトルといいます。それでは、先ほど述べたベクトル\textbf{\emph{x}}=\textbf{\emph{x}}_{1}+k\textbf{\emph{a}}の法線ベクトルを求めてみましょう。ここでは二次元として考えます。まず、法線ベクトルを\textbf{\emph{b}}とすると、法線ベクトルは\textbf{\emph{a}}と垂直なので

 (\textbf{\emph{a}},\textbf{\emph{b}})=0

と内積は0となります。よって、

 (\textbf{\emph{x}},\textbf{\emph{b}})=(\textbf{\emph{x}}_{1},\textbf{\emph{b}})+k(\textbf{\emph{a}},\textbf{\emph{b}})\\=(\textbf{\emph{x}}_{1},\textbf{\emph{b}})

となります。ここで

 \textbf{\emph{x}}=\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right),\textbf{\emph{b}}=\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right),(\textbf{\emph{x}}_{1},\textbf{\emph{b}})=c

とおけば

 ax+by=c

が得られます。このことから

ax+by=cで直線が与えられていれば、法線ベクトルは(a,b)ということになります。

次の直線の法線ベクトルを求めよ。

 x+2y=1

法線ベクトルは(1,2)です。(2,4)とかでもOKです。

著者:安井 真人(やすい まさと)