行列の積

行列の積

みなさんは

「行列の積はこうやって計算するんだ。」

といって計算方法を教わりませんでしたか?

「なんでそうやって計算するの?」

と聞いても、

「そういうものだ。」

と言われるのが落ちじゃないでしょうか?ここでは、行列の積を

 \left(\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{array}\right)

と定義する正当性を説明します。

回転を2回してみる

ベクトル

 \textbf{\emph{x}}=\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)

を原点中心に\alphaだけ回転させると

 \textbf{\emph{x}}^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)

となります。これを

 \textbf{\emph{x}}^{\prime}=A\textbf{\emph{x}}

とかくことにします。さらに\betaだけ回転させれば同様に

 \textbf{\emph{x}}^{\prime\prime}=\left(\begin{array}{cc}\cos\beta&-\sin\beta\\\sin\beta&\cos\beta\end{array}\right)\left(\left(\begin{array}{cc}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)\right)

が得られます。これを

 \textbf{\emph{x}}^{\prime\prime}=B(A\textbf{\emph{x}})・・・(1)

とあらわします。当然、座標\textbf{\emph{x}}^{\prime\prime}\textbf{\emph{x}}\alpha+\beta回転させた座標なので

 \textbf{\emph{x}}^{\prime\prime}=\left(\begin{array}{cc}\cos(\alpha+\beta)&-\sin(\alpha+\beta)\\\sin(\alpha+\beta)&\cos(\alpha+\beta)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)

ともかけます。ここで

 \textbf{\emph{x}}^{\prime\prime}=C\textbf{\emph{x}}・・・(2)

とかきます。

加法定理より行列の積の計算法がわかる

加法定理を使うと行列C

 C=\left(\begin{array}{cc}\cos(\alpha+\beta)&-\sin(\alpha+\beta)\\\sin(\alpha+\beta)&\cos(\alpha+\beta)\end{array}\right)\\=\left(\begin{array}{cc}\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta&-\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta&\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\end{array}\right)

となります。

 C=\left(\begin{array}{cc}\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta&-\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta&\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\end{array}\right)

 BA=\left(\begin{array}{cc}\cos\beta&-\sin\beta\\\sin\beta&\cos\beta\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{array}\right)

を見比べると行列の積は

 \left(\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{array}\right)

で良さそうだということがわかります。上記の考察から、以上のように積を定義するとなにかと便利なのです。

著者:安井 真人(やすい まさと)