3次元の行列式

3次元の行列式

前回、2次元の行列式について解説しました。ここでは、3次元を拡張して、3次元の行列式について解説します。3次元の行列式はベクトルの外積でも使用するので、理解して計算できるようにしておきましょう。

3次元の行列式

まず、2次元の行列式のおさらいです。2次元の行列式は

 \left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|=ad-bc

となりました。

スナップショット 2012 09 30 23 04

といったようにクロスでかけて、右下なら正、左下なら負とすればいいのです。これを3次元に拡張すると次のようになります。

行列式

 \left|\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right|\\=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}

一見すると覚えにくそうですが、

右下は正

 スナップショット 2012 09 30 22 52

左下は負

スナップショット 2012 09 30 22 52 2

として右下なら正、左下なら負とすれば簡単に覚えることができます。簡単ですね。では以下の問題を解いて、慣れておきましょう。

以下の行列式を計算せよ。

 \left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&-1&3\\1&-1&1\end{array}\right|

行列式の定義にしたがって解くだけです。以下のようになります。

 \left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&-1&3\\1&-1&1\end{array}\right|=1\times(-1)\times1-1\times3\times(-1)=-1+3=2

著者:安井 真人(やすい まさと)