有限・無限次元のベクトル空間

有限・無限次元のベクトル空間

ベクトル空間の次元が有限かどうかについて考えます。

はじめに、有限・無限次元のベクトル空間の定義を紹介します。

有限次元と無限次元

ベクトル空間\mathbf{V}の任意のベクトルが、\mathbf{V}の有限個の線形結合で表されるとき、\mathbf{V}は有限次元であるといいます。

有限次元でない場合には、\mathbf{V}は無限次元であるといいます。

有限次元の例としては、平面上のベクトルがあげられます。

平面上のベクトルはすべて

 \mathbf{e}_{1}=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\mathbf{e}_{2}=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)

の線形結合

 c_{1}\mathbf{e}_{1}+c_{2}\mathbf{e}_{2}=\left(\begin{array}{c}c_{1}\\c_{2}\end{array}\right)

で表すことができます。よって、平面上のベクトルの集合は有限次元なベクトル空間です。

連続関数全体の集合は無限次元のベクトル空間です。

このことを証明してみましょう。

【ベクトル空間であること】

ベクトル空間であることを証明します。

ベクトル空間って何?という方は

>>ベクトル空間

を読んで定義を復習しましょう。

 

関数f(x),g(x)の足し算とスカラー倍を

 (f+g)(x)=f(x)+g(x),\\(af)(x)=af(x)

とします。すると、

結合法則:((f+g)+h)(x)=(f+g)(x)+h(x)=f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+(g+h)(x)=(f+(g+h))(x)

交換法則:(f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x)

が成り立ちます。また、零ベクトルもすべてのx

 o(x)=0

となる関数すれば、すべての関数f(x)に対して

 (o+f)(x)=0+f(x)=f(x)

が成り立ちます。f(x)の逆ベクトルも-f(x)とすればいいことがわかります。

 

さらにスカラー倍に関しても

 ((a+b)f)(x)=(a+b)f(x)=af(x)+bf(x)=(af+bf)(x)

 (a(f+g))(x)=a(f+g)(x)=a(f(x)+g(x))=af(x)+ag(x)=(af+ag)(x)

 ((ab)f)(x)=(ab)f(x)=a(bf(x))=(a(bf))(x)

 (1f)(x)=1f(x)=f(x)

が成り立ちます。よって、連続関数全体の集合はベクトル空間となります。

【無限次元であること】

実際に、1,x,x^{2},\cdotsは線形独立です。

よって、無限次元となります。

著者:安井 真人(やすい まさと)