線形部分空間

線形部分空間

線形部分空間とは、線形空間の部分集合が線形空間になっている場合をいいます。

ここでは、線形部分空間を定義して、線型部分空間の例を見ていきます。

線形部分空間

\mathbf{K}上の線形空間\mathbf{V}の部分集合\mathbf{W}が同じ演算において\mathbf{K}上の線形空間になるとき、\mathbf{W}\mathbf{V}線形部分空間といいます。

3次元ベクトルの集合を考えましょう。3次元ベクトルの集合は線形空間です。

2次元ベクトルの集合は、3次元ベクトルの部分集合です。

また、2次元ベクトルは線形空間です。

よって、2次元ベクトルの集合は3次元ベクトル集合の線形部分空間となります。

線形部分空間

線形空間\mathbf{V}の部分集合\mathbf{W}が線形部分空間となるには

 \mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbf{W}\Rightarrow\mathbf{x}+\mathbf{y}\in\mathbf{W}\\\mathbf{x}\in\mathbf{W},a\in\mathbf{K}\Rightarrow a\mathbf{x}\in\mathbf{W}

で必要十分です。

この定理を使えば、線形部分空間であることを簡単に証明できます。

とても便利な定理です。

まず、\mathbf{W}\mathbf{V}の線形部分空間なら、\mathbf{W}は線形空間なので、

 \mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbf{W}\Rightarrow\mathbf{x}+\mathbf{y}\in\mathbf{W}\\\mathbf{x}\in\mathbf{W},a\in\mathbf{R}\Rightarrow a\mathbf{x}\in\mathbf{W}

が成り立ちます。

 

次に、\mathbf{W}が線形空間\mathbf{V}の部分集合とし

 \mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbf{W}\Rightarrow\mathbf{x}+\mathbf{y}\in\mathbf{W}\\\mathbf{x}\in\mathbf{W},a\in\mathbf{R}\Rightarrow a\mathbf{x}\in\mathbf{W}

が成り立つ場合を考えます。ベクトルの結合法則や交換法則、スカラー倍の法則は、\mathbf{W}が線形空間\mathbf{V}の部分集合であることから成り立ちます。

ですから、零ベクトルと逆ベクトルの存在を言えば、\mathbf{W}は線形空間であることを証明できます。

 

零ベクトルの存在は

 \mathbf{x}\in\mathbf{W},0\in\mathbf{R}\Rightarrow 0\mathbf{x}\in\mathbf{W}

を利用します。そして、0\mathbf{x}が零ベクトルであることを証明します。0\mathbf{x}が零ベクトルであることは任意の\mathbf{x}\in\mathbf{W}に対して

 a\mathbf{x}=(a+0)\mathbf{x}=a\mathbf{x}+0\mathbf{x}

からわかります。

 

次に、逆ベクトルの存在をいいます。では、\mathbf{x}\in\mathbf{W}の逆ベクトルの存在を証明します。そのために

 \mathbf{x}\in\mathbf{W},-1\in\mathbf{R}\Rightarrow(-1)\mathbf{x}\in\mathbf{W}

を利用し、(-1)\mathbf{x}\mathbf{x}の逆ベクトルであることを示します。

 \mathbf{x}+(-1)\mathbf{x}=(1+(-1))\mathbf{x}=0\mathbf{x}

0\mathbf{x}は零ベクトルなので(-1)\mathbf{x}\mathbf{x}の逆ベクトルであることが示されました。

 

以上で証明終了です。

部分線形空間を証明する際は、この定理を活用しましょう。

著者:安井 真人(やすい まさと)