流体力学

水道における水の流れ、飛行機や自動車周りの空気の流れなど様々な場面で流体は重要です。ここでは、連続体の一つである流体の運動について学習します。

流れを記述する未知変数

連続体の運動を考える際に、未知変数が何かを考えることは重要です。 ここでは、水を例にして流体の未知変数について考えていきます。

オイラー的記述法とラグランジュ的記述法

流体の記述法には、オイラー的記述法とラグランジュ的記述法の2つがあります。 ここでは、これらの記述法と関係性について説明します。

オイラーの運動方程式

質点の運動の解析をする際、まず運動方程式を立てることから始めました。 これと同様に流体のような連続体にも運動方程式が存在します。 ここでは、流体力学における運動方程式であるオイラーの運動方程式を導きます。

連続の方程式

水というのはたとえ流れの中にあっても量は変化しません。 100mlの水は、どこであろうと100mlだということです。 この質量保存則を記述したものが連続の方程式というものです。 ここでは、この連続の方程式を導出します。

ベルヌーイの定理

力学にエネルギー保存則があったように、流体力学にもエネルギー保存則が存在します。 それがベルヌーイの定理です。 ここでは、ベルヌーイの定理を導き、解説します。

ベルヌーイの定理の応用

前回、ベルヌーイの定理について導出しました。 ベルヌーイの定理はエネルギー保存則で、うまく応用することで簡単に流速を計算できたりします。 ここでは、実際にベルヌーイの定理を使って問題を解いていきます。

ナビエ-ストークス方程式

これまで、流体の粘性を考慮しないで運動方程式を導いてきました。 ここでは、流体の粘性も考慮して流体における支配方程式を導出します。

レイノルズ数

流体の支配方程式はナビエ・ストークス方程式で記述されることを学びました。 もちろんナビエ・ストークス方程式を解けばいいのですが、状況に応じてはナビエ・ストークス方程式の項を消すことができます。 その項の消去はレイノルズ数によって決まります。 ここではこのレイノルズ数について紹介します。

流関数

流体の流れを計算したかったらナビエ・ストークス方程式を解けばOKです。しかし、ナビエ・ストークス方程式は単純ではないので解くのは困難です。ですから、どうしても数値解析が必要になります。ただ、昔はコンピュータが無かったので数値解析は使えません。そこで、単純な例に限定して方程式を解くということをしていました。その際に複素解析が利用されてきました。ここでは、その準備として流関数について解説します。

速度ポテンシャル

力について考えた際、ポテンシャルという概念を導入しました。ポテンシャルを導入することで、位置エネルギーの概念など問題の見通しをよくするのに役立ちました。流体力学では速度ベクトルが出てきます。速度ベクトルも力場と似ているので、ポテンシャルを導入するといいことがあるかもしれません。ここでは、この速度ベクトルのポテンシャルである速度ポテンシャルについて考えます。