微分積分

 時間に対してある量がどの程度変化するかを知りたいことがよくあります。例えば、速度は位置が時間に対してどのくらい変化するかの概念です。この変化量の概念をまとめたものが微分です。一方、微小量を積み重ねるという操作もよく使用され、この操作が積分にあたります。どれも物理学で当たり前に使うので、しっかり勉強してきましょう。

極限と連続関数

関数で興味があるのは、変数がほんの少し変化したら関数値はどれくらい変化するか?です。 例えば、関数が株価だとして変数を時間だとすると、時間が少したったときの株価の変化を知りたいわけです。 もし株価の変化量がわかれば、変化量が高い株を購入すればいいことになりますよね。 ここでは「ちょっとの変化」を表す「極限」という考え方について説明します。 また、連続関数という考え方についても解説します。

微分係数

では、いよいよ関数の変数が少し変化したら関数値がどの程度、変わるのかを計算します。 この変化の度合いを表す量として、微分係数を使用します。 ここでは、微分係数の定義と計算方法について解説していきます。

べき関数の微分

 xをn乗した関数をべき関数といいます。導関数の計算練習として、ここでは、べき関数の微分についての公式を導きます。べき関数は今後良く使用するのでしっかり計算方法を身につけておきましょう。

微分の公式

微分を簡単に計算できるように公式をいくつか導きます。 どういう公式かというと、関数の和や積を簡単に計算する公式です。 これらの公式は微分の計算でよく使用するので、使えるようになっておきましょう。

合成関数の微分

関数の中にさらに関数があるようなものを合成関数といいます。 例えば、(x+1)2のように2次関数の中にx+1という関数があるとみれば合成関数となります。 ここではこのような合成関数の微分方法について解説します。

接線と法線

微分をすると、接線の傾きを簡単に計算できました。 そこで、ここでは実際に接線について計算する方法を紹介します。 また、法線の求め方も紹介します。

関数の増減

微分法は、接線の計算だけでなく、関数をグラフにかく際に便利です。 ここでは、単調増加と単調減少について解説して、関数の増減を微分で調べる方法を紹介します。

微分を使ってグラフをかく

前回、微分係数が正なら傾きも正、負なら傾きも負ということを証明しました。 このことを使えば、グラフの概形をある程度かくことができます。 この記事では、増減表を書いて、グラフの外形を書く方法を紹介します。

微分を使って最大値を求める

会社の利益を最大にしたい 自分の時間を有効に使いたい 無駄を省きたい など最適化が必要となる問題が日常によくあります。 そんなときに、微分法が役に立ちます。 微分法により山のてっぺんがわかるので、最適な値がわかるのです。

三角関数の微分

三角関数sin,cos,tanも微分することができます。 ここでは、三角関数の微分がどのようになるかを計算します。 そして、三角関数の微分公式を導きます。