複素数

　実数は二乗するとかならずゼロより大きい数になります。では、二乗したら負になる数はあるでしょうか？じつは二乗したら負になる数は定義できます。そのため、実数を拡張して二乗したら負になる数も含めることができます。この拡張した数を複素数と呼びます。ここでは、複素数の定義と複素数の相等について学びます。

　複素数は実数を拡張したものなので当然のように四則演算が定義できます。ここでは複素数の足し算、引き算、掛け算、割り算について学びます。そして、実際に複素数の四則演算をして計算できるようにしていきます。

　複素数に実数を拡張することで、負の数の平方根を定義することができます。ここでは、負の数の平方根について学びます。負の数の平方根の導入により、２次方程式のあらゆる解を得ることができます。２次方程式の解についても解説します。

　２次方程式の係数と解にはある簡単な関係があります。この関係性を使うことで、楽にとける問題があります。ここでは、これらの２次方程式の係数と解の関係性について解説します。

　複素数は実数が２つの組み合わせなので、２次元ベクトルと考えることができます。そのため、複素数は平面で表現することができます。これが複素数平面です。ここでは、複素数を平面で表す方法である複素数平面を学習します。

　座標には直角座標の他に、極座標がありました。これと同様に複素数も極座標のような方法で記述できます。それが極形式です。ここでは、複素数の極形式表示について解説します。

　複素数は極座標表示にすると簡単にｎ乗を計算することができます。それがド・モアブルの定理という複素数における基本的な定理です。ここでは、このド・モアブルの定理について解説します。また、ド・モアブルの定理を使って１のn乗根の計算を行います。

　複素数へ実数を拡張することで、指数関数と三角関数にあるきれいな関係性があることを導けます。この関係性はオイラーの公式と呼ばれ、複素数を使用する場面で頻繁に使用します。ここでは、このオイラーの公式を、指数関数と三角関数をテイラー展開することにより導きます。