幾何学

三角比や図形の方程式について学びます。

三角比

幾何学を解析学にもっていくために重要なのが今回学ぶ「三角比」という概念です。三角比を学ぶことで、幾何学をsin,cos,tanという文字式へ変換することもできます。さらに、三角比は角度と距離の関係を知りたいときに便利で、ベクトルをx,y成分にわけるときに使用します。また、三角比は球や円のような丸い空間と直交座標系を行き来する道具としても使用されます。

三角比の相互関係

 三角比sin,cos,tanについて学んできました。そして、三角比の中でもsinとcosは極座標と直交座標の変換でよく使うので大切だということも紹介しました。ドラマでもそうですが、人物が紹介されたら、次にそららの人物の関係が気になります。今回は、sin,cos,tanという3人の人物?の関係をみていきます。(いわゆる三角関係というやつです)だれとだれが恋人で、だれが片思いかについて考察していきましょう。

弧度法

 45°とか80°など角度を表すのによく「°」を使用します。なぜか小学生のときに角度は一周360°と教えられて、馴染んでいきます。いま思うと360°と設定した人はえらいですね。もし一周100°とかにしたら、ものすごく使いにくいですね。よく出てくる角度45°も12.5°になるし、60°も16.666°になってしまいます。

正弦定理と余弦定理

 三角形の角度と辺との関係を述べたのが正弦定理と余弦定理です。はじめにいっておきますが、これらの定理は覚える必要はありません。というのも、正弦定理は三角形の面積を様々な辺と角で記述しただけですし、余弦定理はベクトルの知識があれば簡単に導けます。ですから、これらの公式を使わずに問題は解くことができます。ここでは、正弦定理と余弦定理というものがあることと、これらの証明を学ぶことが大切です。

球の体積と表面積

 球の体積や表面積を計算する方法について解説します。基本的な図形なので、公式はしっかり暗記しておきましょう。また、これらの計算法がなぜ成立するのかについての証明も行います。

三角形の面積

 三角形の面積は三角比を使うことで、簡単に表現したり計算することが可能です。せっかく三角比を学んだので、三角形の面積を三角比を使用して計算してみましょう。また、ヘロンの公式という、3辺の長さから三角形の面積を計算する公式を紹介します。

三角比の拡張

これまで三角比の計算は角度が鋭角の場合でした。 でも、角度って360°とか200°とかもありますよね。 そこで、360°とかでも三角比が使えるように定義を拡張しましょうというのが今回のおはなしです。 さらに、-20°とか負の数も扱えるようにも拡張していきます。

加法定理

 三角比を習うと多くの公式に圧倒されます。これらの公式をすべて暗記すると思うと嫌になるでしょう。しかし、安心してください。これらの公式の暗記は不要です。なぜなら、これらの公式は加法定理と呼ばれる公式でまとめることができるからです。加法定理は、数Ⅰでは教わらず、数Ⅱで習います。たくさん覚えるのは時間の無駄なので、ここで加法定理を習得しておきましょう。

三角比に関する問題

 ここまでの講義で三角比に関していろいろと解説してきました。しかし、一度にたくさん説明されても頭がパンクすると思います。そこで、ここでは三角比の復習としていくつか問題を解いていきます。三角比に問題を通して慣れていってください。

三角形の外心,垂心

三角形にはいくつかの種類の中心があります。 それらが外心、垂心、内心、重心です。 ここでは、これらの中心のうち外心と垂心の定義と性質について解説していきます。