数列

　正の偶数を順に並べると「2,4,6,8,10,12,…」となります。奇数なら「1,3,5,7,9,11,…」です。このように数を並べたものを数列といいます。ここでは、数列とその用語について学びます。

　数列には様々な種類のものがありますが、基本的な数列をおさえておくのは大切です。ここでは、基本的な数列の一つである「等差数列」について解説します。

1から100までの和を求めよ。 という問題があったらあなたはどのように解くでしょうか？ 有名な数学者ガウスは小学生のころにこの問題はすぐに解いたそうです。 周りの子供達は、必死に1から100まで足していましたが、当然計算ミスをしました。しかし、ガウスは短時間に解いただけではなく計算結果もあっていたのです。 ガウスはどのようにして計算したのでしょうか？ というのがこの記事の主題です。

　次の数列の規則を考えてください。「2,6,18,54,…」少し考えると、項が進むにつれ3倍されることがわかります。このように項が進むとx倍される数列を等比数列といいます。ここでは、この等比数列について学びます。等比数列は金融の世界で重要となります。等比数列の理解は将来あなたが受け取るお金の総量を増幅させるのでしっかり勉強しましょう。

　等差数列の和に公式があるように、等比数列の和にも公式が存在します。そこで、ここでは等差数列と同様に等比数列の和について計算していきます。

　等差数列の和、等比数列の和と様々な数列の和について学んできました。次に学ぶのは累乗の和です。例えば、1の二乗足す、2の二乗足す、３の二乗足す、…といったかんじです。このような累乗の和を計算できるようになりましょう。

　これまで等差数列の和、等比数列の和、累乗の和など様々な数列の和について解説してきました。これまでの説明では、和を「…」といった点で記述していました。しかし、この方法では、数列の規則性を読者が発見する必要があり不便です。この不便さを解消する記号が総和の記号シグマです。ここでは、このシグマの記述方法と性質について解説します。

　これまで、等差数列や等比数列など様々な数列の和を計算してきました。ここでは、それら以外の特殊な数列の和を計算します。ここでは問題を通して計算方法を解説していきます。

　数列を表記するには、一般項を記述すればいいことを説明しました。ここでは、以前の項により現在の項を記述する表記法である漸化式について解説します。

　みなさんはドミノ倒しをやったことがあるでしょうか？わたしは子供の頃、将棋のコマを並べてドミノ倒しをしていました。将棋のコマを立てて並べて、一番はじめのコマを倒すと連動して次のコマが倒れていきます。数学にもこのドミノ倒しの原理により証明する手法があります。それが数学的帰納法です。ここでは、数学的帰納法による証明方法について解説します。